Dertien Gewichten

Er zijn 13 gewichten die elk een geheel aantal grammen wegen.
Als je er willekeurig één uithaalt kun je de overige twaalf altijd in
twee groepen van zes verdelen die even zwaar zijn.
Bewijs dat dat alleen mogelijk is als alle gewichten even zwaar zijn.
1. Dat kan alleen als alle gewichten óf een oneven aantal grammen wegen óf een even aantal grammen. Immers, als je er eentje uithaalt is het totale overgebleven gewicht even (in tweeën te delen).
2. Stel dat er een verzameling van 13 gewichten is, die niet even zwaar zijn, maar wel de eigenschap hebben. Kies van alle mogelijke verzamelingen van zulke gewichten degene die het kleinste totaalgewicht heeft.
3. Trek nu van alle 13 gewichten het lichtste gewicht uit de verzameling af.
Nu hou je 13 nieuwe gewichten over waarvan er minstens één nul is (namelijk het oorspronkelijk lichtste gewicht) en die niet allemaal nul zijn (de oorspronkelijke gewichten waren niet allemaal gelijk).
Omdat nul even is zijn volgens etappe 1 alle gewichten nu even.
4. Omdat alle gewichten even zijn kun je ze ook wel allemaal door 2 delen, dan blijft de eigenschap gelden. Maar dan heb je een nieuwe verzameling die ook aan de voorwaarde voldoet en die een kleiner totaalgewicht heeft dan de oorspronkelijke.
Dat is tegenstrijdig met het feit dat we de verzameling met het kleinste totaalgewicht hadden gekozen. Dus klopt de aanname dat de gewichten niet allemaal gelijk zijn niet.
q.e.d.