Als één van de cijfers van het
getal 0, 1, 4 of 9 is, is de stelling meteen bewezen, want dan
is het ene cijfer al een kwadraat.
Laten we daarom aannemen dat het getal bestaat uit de cijfers
2,3,5,6,7,8
In de priemfactorontbinding daarvan komen alleen de
priemgetallen 2, 3, 5 en 7 voor.
Elk product dat we gaan bekijken is van de vorm 2a
• 3b • 5c • 7e |
Bekijk het even of
oneven zijn van de machten a, b, c en d.
Omdat elke macht even of oneven is zijn er in totaal 24
= 16 mogelijke klassen daarvoor. |
|
|
|
Noem de cijfers van het getal c1c2c3...c16
Dan zijn er 16 producten die beginnen met c1,
namelijk c1, c1c2,
c1c2c3,
....
Als voor één van deze producten a, b, c
en d allemaal even zijn dan is dat product een kwadraat,
en is wederom onze stelling bewezen.
Neem daarom aan dat geen van deze 16 producten allemaal even
machten heeft (klasse {even, even, even, even})
Dan vallen dus deze 16 producten binnen de andere klassen voor (a,
b, c d) en daar zijn er 15 van over.
Dus zullen minstens twee van deze producten binnen dezelfde
klasse vallen.
Stel dat de producten c1c2
....cm en c1c2...cn
in dezelfde klasse vallen.
Als je ze dan op elkaar deelt dan heeft het resultaat alleen
maar even a, b, c en d want
oneven - oneven = even en ook even - even = even).
Conclusie: cm+1cm+2...cn
is een kwadraat. |
|
|
| Voorbeeld:
neem getal 2536723753857323 en maak de volgende
tabel: |
|
|
|
| product |
resultaat |
a, b, c, d |
klasse |
| 2 |
2 |
1,0,0,0 |
o,e,e,e |
| 2•5 |
10 |
1,0,1,0 |
o,e,o,e |
| 2•5•3 |
30 |
1,1,1,0 |
o,o,o,e |
| 2•5•3•6 |
180 |
2,2,1,0 |
e,e,o,e |
| 2•5•3•6•7 |
1260 |
2,2,1,1 |
e,e,o,o |
| 2•5•3•6•7•2 |
2520 |
3,2,1,1 |
o,e,o,o |
| 2•5•3•6•7•2•3 |
7560 |
3,3,1,1 |
o,o,o,o |
| 2•5•3•6•7•2•3•7 |
52920 |
3,3,1,2 |
o,o,o,e |
| ... |
... |
... |
... |
|
|
|
En daar is dezelfde klasse al.
Dus 52920/30 = 1764 is
een kwadraat (inderdaad 422) en is de serie 2536723753857323
|
|