We zoeken een bovengrens voor de breuk:   1/2 • 3/4 • 5/6 • ...
Laten we eerst bewijzen dat   1/2 • 3/4 • 5/6 • ... • 99/100 < 1/10
Noem deze breuk A.
Noem zijn tweelingbroer B:    B = 2/3 • 4/5 • 6/7  • ... • 98/99 • 1
Stuk voor stuk zijn alle factoren van B groter dan die van A:  2/3 > 1/2  en  4/5 > 5/6  en ... en 1 > 99/100
Er geldt dus  A < B
Maar A • B = 1/100  (bijna alle getallen in noemer en teller vallen tegen elkaar weg)
Dus  A • A < A • B = 1/100,  dus  A < √(1/100) = 1/10

Algemener:  1/2 • 3/4 • 5/6 • ... • (2n- 1)/2n  <  1/√(2n)
Maar het kan nog veel strenger:  An =   1/2 • 3/4 • 5/6 • ... • (2n- 1)/2n  <  1/√(3n + 1)
STAP 1.
A1 = 1/2 < 1/(3 • 1 + 1) = 1/√4:  nee, dat klopt niet!
A2 = 1/2 • 3/4 = 3/8 < 1/√(3 • 2 + 1) = 1/√7:   Ja, deze klopt (neem maar het kwadraat:  9/64 < 1/7 = 9/63)

STAP 2.
Stel dat de eigenschap geldt voor een n > 1.
An+1 = An • (2n + 1)/(2n + 2) < (inductie-aanname) 1/√(3n + 1) • (2n + 1)/(2n + 2)

Kwadrateer de rechterkant:

Maak een staartdeling van noemer gedeeld door teller:

Omdat de laatste breuk groter dan nul is, geldt dus  dat het resultaat van de staartdeling groter is
dan 3n + 4.
Maar als we het dan op de kop zetten vinden we dat  An+1 kleiner is dan 1/(3n + 4)
Conclusie:

En daarmee is aangetoond dat de eigenschap geldt voor An+1
En het vreemde is dat er met 3n in plaats van 3n + 1 geen direct bewijs is!!!