De Birkhoff diamant

De Birkhoff Diamant (een voorbeeld)

Hiernaast staat een schets van de beruchte Birkhoff-diamant. Hij bestaat uit vier vijfhoeken met daaromheen zes gebieden. Als je de diamant weglaat heb je een kaart met minder gebieden. Die kaart kan gekleurd worden (als de diamant een Kleinste Tegenvoorbeeld is). De rand van die kaart kan in theorie op 31 manieren gekleurd worden. Van gebied 1 naar gebied 6 genummerd zijn dat de manieren die hieronder staan. Sommige kleurmanieren kunnen direct naar de binnenste vier vijfhoeken worden overgebracht, sommige niet. Die eersten zijn met een asterisk aangegeven in de figuur hieronder. Voor alle kleuringen zonder asterisk moeten we aan het werk. We moeten Kempe-kleurwisselingen toepassen om een kleuring toch mogelijk te maken. Kleuringen die uit elkaar volgen door een wisseling van kleuren zijn uiteraard weggelaten.



Ik zal met één voorbeeld laten zien hoe zoiets in zijn werk zou kunnen gaan (allemaal is een beetje overdreven; dat doe je zelf maar als je er zin in hebt). Neem bijvoorbeeld de kleuring rood-groen-rood-blauw-rood-blauw (de zesde in de eerste kolom). Die kun je niet direct kleuren met de 4 vijfhoeken. Laten we dus maar weer Kempe-ketens gaan bekijken. Er zijn maar drie mogelijkheden, en die staan alle drie hieronder.



Kijk naar gebied 5 (rood rechts) Als dat gebied via een rood-gele Kempe Keten met 3 is te verbinden,dan is gebied 4 niet met een blauw-groene keten ergens mee verbonden en kunne we dat gebied dus door te wisselen groen kleuren. Als dat gebied via een rood-gele Kempe Keten met 1 is te verbinden, dan is gebied 6 niet met een blauw-groene keten ergens meen verbonden en kunnen we dat gebied dor te wisselen groen kleuren Als dat gebied via een rood-gele keten nergens mee is verbonden, dan kunne we gebied 5 geel kleuren door te wisselen. In alle drie de gevallen lukt het!!!! Dus hebben we voor dit geval bewezen dat de kleuring kloppend te maken is. Er kan een asterisk bij geval 6 geplaatst worden...... Met dit soort redeneringen zijn alle gevallen kloppend te maken, dus de diamant is te verkleinen! Wat een werk voor zo'n kleine figuur!