Op elke zijde van een willekeurige
driehoek construeren we een gelijkzijdige driehoek.
Zie de figuur hiernaast.
Bewijs dat AP = BQ = CR
OPLOSSING
Het lijkt misschien vreemd dat dit
probleem bij "symmetrie" staat want de figuur
hierboven lijkt volledig asymmetrisch.
Toch is dat niet meer zo als we de hele figuur over 60º draaien
met centrum B.
Dan komt P op C terecht en A op R.
Dus PA wordt dan CR dus die zijn even lang.
Op dezelfde manier kun je bewijzen dat CR en BQ even lang zijn.
Nog Eentje?
ABC is een gelijkzijdige driehoek,
en E ligt op het verlengde van AB.
D wordt zó gekozen dat CAE ook gelijkzijdig is.
M is het midden van AD, en N het midden van BE.
Bewijs dat CMN dan ook gelijkzijdig is.
OPLOSSING
Draai de figuur tegen de klok in
over 60º om punt C.
Dan gaat A naar B en D naar E, dus AD naar BE.
Maar dan heet M naar N.
Dus hoek MCN is 60º en CM = CN
Dan is driehoek CMN gelijkzijdig.
Nóg een dan maar?
Op twee van de zijden van driehoek
ABC worden vierkanten ABPQ en ACRS getekend.
AM is een zwaartelijn van de driehoek.
Bewijs dat QS = 2 • AM
OPLOSSING
Bekijk een rotatie over 90º met de klok mee om
het middelpunt O van vierkant ABPQ. Waar komt QS dan terecht?
Q is een makkie: die komt op A.
AS wordt ook over 90º gedraaid en komt dus evenwijdig aan AC te
liggen. Omdat A in B terecht komt, en AS = AC moet S wel
in T terecht komen met BT = AC en BT evenwijdig aan AC.
QS wordt dus AT, dus QS = AT.
Maar AT is diagonaal van parallellogram ABTC, en omdat de
diagonalen van een parallellogram elkaar doormidden delen is AT
= 2 • AM.
Daarmee is de stelling bewezen.
En als extraatje hebben we ook nog bewezen dat QS en AM
loodrecht op elkaar staan (immers de draaiing was over 90º)
