Stel dat ons getal n is.
Bekijk dan alle getallen modulo n
Daar zijn er n van.
Bekijk ook de verzameling   { 1 , 11 , 111 , 1111 , ......, 11111111.......} waarbij het laatste getal bestaat uit n + 1 enen.
Die verzameling heeft n + 1  elementen.
Dus als we deze verzameling modulo n opschrijven dan staat er zeker een dubbele bij.
Trek de getallen die bij deze dubbelen horen van elkaar af, dan heb je het gezochte veelvoud.

vb:
neem n = 12
{1 , 11 , 111, 1111,  .....}  modulo 12 wordt  {1 , 11 ,  3 , 7 , 11 , .... }
Daar is ie al: de 11 is de eerste dubbele, dus  11111 - 11 = 11100  is een veelvoud van 12.
(het is inderdaad 925 • 12)

Dat brengt je natuurlijk op het idee van een uitbreiding:

Elk getal, dat geen veelvoud van 2 of 5 is, heeft een veelvoud dat alleen uit enen bestaat.

Immers; bovenstaande procedure levert ons een getal van de vorm  1111......00000.....
Als we de nullen weglaten delen we eigenlijk door 10n  dus door  2n • 5n .
Het resultaat is dan nog steeds een veelvoud van n  (mits n geen veelvoud van 2 of 5 is)