De stelling van Helly:

"Als van een verzameling van convexe gebieden elke drie gebieden een gemeenschappelijk punt hebben, dan is er een punt dat zich in alle gebieden bevindt".
Een gebied is "convex" als de verbindingslijn van twee willekeurige punten in zijn geheel weer binnen het gebied ligt. In huis- tuin- en keukentaal zouden we zeggen dat het gebied geen "gaten" en geen "deuken" heeft.

Eerst bewijzen we de stelling voor een verzameling van 4 convexe gebieden  G1, G2, G3 en G4.
Stel dat punt Pi ligt in de drie gebieden zonder Gi. (Dus bijv. A2 ligt in  G1, G3 en G4).
Vier punten kunnen in een vlak maar op twee manieren liggen: eentje ligt in de driehoek gevormd door de andere drie, of de vier punten vormen een convexe vierhoek.

Situatie 1:
P1, P2 en P3 liggen volgens afspraak in gebied 4. Maar omdat gebied 4 convex is, moet de hele driehoek wel in gebied 4 liggen. Dus punt P4 ook. P4 ligt dus in alle vier de gebieden.

Situatie 2:
Noem S het snijpunt van P1P3 en P2P4.
G1 bevat driehoek P2P3P4 dus ook punt S
G2 bevat driehoek P1P3P4 dus ook punt S
G3 bevat driehoek P1P2P4 dus ook punt S
G4 bevat driehoek P1P2P3 dus ook punt S
Conclusie: S ligt in alle vier de gebieden.

Daarmee is het geval voor 4 gebieden bewezen.
De inductiestap.
Inductie-aanname:  Stel dat de stelling geldt voor n gebieden  (n ≥ 4), G1 tm Gn
Voeg nu een gebied Gn + 1 toe.
Beschouw dan de vier gebieden  GiGjGnGn+1
Stel dat drie van deze 4 gebieden steeds een punt gemeenschappelijk hebben.
Dan zegt de inductie-aanname dat er een punt is dat in alle vier ligt (de stelling geldt volgens de aanname voor n ≥ 4 gebieden, dus zeker voor 4 gebieden).
Noem nu D de doorsnede van Gn en Gn+1. Ons gezocht punt ligt zeker in D. Dus GiGjD hebben een punt gemeenschappelijk. Verder is D ook convex (bewijs dat zelf maar).
Maar i en j waren willekeurig.  Dus elke verzameling GiGjD heeft een punt gemeenschappelijk.

We hebben dus nu een verzameling van n convexe gebieden G1G2...Gn-1D waarvan elke drie gebieden een punt gemeenschappelijk hebben.
De inductie-aanname zegt dan dat er een punt is dat in al deze gebieden ligt.
Maar omdat D de doorsnede van Gn en Gn+1 is, ligt dat punt ook in Gn en Gn+1.
Dus ligt dat punt in alle G1G2,...,Gn+1.

Daarmee is de stelling bewezen.
Voorbeeldtoepassing
Ik heb een kromme getekend, waarvoor geldt dat twee willekeurige punten ervan altijd minder dan 1 cm van elkaar af liggen ("hemelsbreed").  Bewijs dat er dan altijd een cirkel met straal  1/3√3 cm te vinden is die de kromme in zijn geheel bedekt.
oplossing
Kies drie willekeurige punten P, Q en R van mijn kromme.
Stel dat PQ de langste zijde van driehoek PQR is.
Kies nu punt S aan dezelfde kant van PQ als punt R, en doe dat zó dat driehoek PQS gelijkzijdig is.
Dan ligt R in de omgeschreven cirkel van driehoek PQS. En de straal van die cirkel is hoogstens 1/3√3, want de zijden zijn hoogstens 1.

Dat betekent dat de drie cirkels met straal 1/3√3 en middelpunten P, Q en R een punt gemeenschappelijk hebben.
Maar dat geldt voor elke drie punten P, Q en R.

Teken nu om elk punt van onze kromme een cirkel met straal 1/3√3.
Dan heeft elke verzameling van drie van die cirkels een gemeenschappelijk punt.
De stelling van Helly zegt dan dat er een punt is dat binnen al die cirkels ligt.

Dit punt is het  middelpunt van de cirkel die we zoeken....