| De
Japanse Stelling |
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
|
|
| |
|
|
De vlakke meetkunde werkt met bewijzen die bijna allemaal
volgens de methode van deductie gaan.
Er zijn talloze voorbeelden. Letterlijk teveel om op te
noemen. Ik heb de Japanse Stelling genomen omdat de stelling
gewoon verrassend is!
Hier komt ie:
|
|
Teken een veelhoek met een
omgeschreven cirkel
Teken daarin zoveel mogelijke niet-snijdende
diagonalen.
Dat verdeelt de veelhoek in driehoeken.
Teken van elke driehoek de ingeschreven cirkel.
Tel alle stralen van die ingeschreven cirkels bij
elkaar op.
Daar komt altijd hetzelfde uit!!! |
|
|
In een plaatje ziet het er veel verrassender uit:
|
|
|
 |
|
|
| De stelling zegt dat de som van de
stralen van alle rode cirkels gelijk is aan die van alle blauwen
en ook aan die van alle groenen. (Mits de veelhoek precies in
een cirkel past)
HET BEWIJS. |
|
|
STAP
1
We beginnen met de stelling van Carnot:
|
|
Noem M het middelpunt van
de omgeschreven cirkel van een driehoek.
Noem R de straal van de omgeschreven cirkel en r
de straal van de ingeschreven cirkel.
Dan is de som van de afstanden van M tot de drie
zijden gelijk aan R + r . |
|
|
Als je de stelling wel gelooft kun je direct naar stap2.
We beginnen met een scherphoekige driehoek. Dan ligt M
daarbinnen. De situatie net ingeschreven en omschreven cirkels
is als volgt: |
|
|
| Links zie je :
Oppervlakte ANC = 1/2rb
Oppervlakte CNB = 1/2ra
Oppervlakte ANB = 1/2rc
De totale oppervlakte is deze drie bij elkaar opgeteld.
Daaruit volgt:
r (a + b + c)
= 2 • Oppervlakte
= aMD + bME + cMF
Hij is paarsgekleurd omdat we hem straks weer nodig hebben |
|
|
|
| Over naar de
rechterfiguur. Als we gelijke hoeken daarin zetten krijgen we de
figuur hieronder. |
|
|
|
|
| STAP
2 |
|
|
|
Terug naar de veelhoek.
De eerste nuttige observatie is, dat de cirkel van alle
driehoeken de omschreven cirkel is.
Het tweede dat opvalt is dat er altijd n - 2 driehoeken
zijn als we te maken hebben met een n-hoek.
Noem de som van de afstanden van M tot de zijden van driehoek i
gelijk aan di
Carnot geeft dan: (r1 + R) +(r2+
R) + ...+ (rn-2 + R) = d1
+ d2 + ... + dn-2
Daarbij zijn alle di opgebouwd uit drie
termen: eentje is de afstand naar een zijde van de
veelhoek, de andere twee zijn afstanden naar diagonalen in de
veelhoek.
En nou komt het: die afstanden naar de diagonalen zijn samen nul.
Kijk maar hiernaast: de
drie rode lijnen zijn de afstanden naar de diagonalen.
Maar elke diagonaal hoort bij twee driehoeken, waarbij
middelpunt M binnen één van die driehoeken ligt en
buiten de andere.
Dus wordt zo'n rode afstand één keer positief
meegeteld en één keer negatief.
Wat overblijft van alle di zijn
de afstanden van het middelpunt naar de zijden van de
veelhoek.
De som daarvan is constant.
R is ook constant. |
|
Schrijf de vergelijking
hierboven als r1 + r2 + ... + rn
- 2 = d1 + d2 + ... + dn - 2 -
R • (n - 2)
De rechterkant is constant, dus de linkerkant ook.
Daarmee is de Japanse stelling eindelijk bewezen!
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|