Noem de drie vaten A, B en C, en
hun inhoud a, b en c in volgorde van klein
naar groot.
Dus 0 < a ≤ b
≤ c.
Stel dat het getal b een aantal keer n in
getal a past, en als rest r geeft.
Dus b
= na + r
Schrijf het getal n nu in het tweetallig stelsel als
een serie enen en nullen.
Dan stellen we ons het water in vat B voor als opgebouwd uit
allemaal porties a die een macht van 2 zijn (de
enen in getal n) plus een hoeveelheid r.
|
|
| vb: |
stel dat a = 55 en b =
602 en c
= 718 dan is 602 = 10 • 55 + 52 dus r = 52 en n
= 10 en dat is 1010 binair.
We doen dan alsof in B
8•55 + 2•55 + 52 liter zit. (23• 55 + 21•55
+ 52)
|
Daarna kijken we naar de nullen in de tweetallige n. Die
machten van 2 worden dus niet vertegenwoordigd in het vat B.
Maar we denken de hoeveelheid in vat C nu opgebouwd uit porties a
die bij deze machten horen.
|
|
| vb: |
in het bovenstaand geval zouden we doen
alsof in C 4•55 + 1•55 + restant (22•55
+ 20•55+ 443) zit. |
Omdat nu alle machten van twee in de porties a
vertegenwoordigd zijn in de vaten B en C, kunnen we langzaam vat
A steeds verdubbelen. Loop alle machten één voor één langs.
|
|
| vb: |
giet 1•55 = 55 vanuit C in A. Dan is {a,
b, c} = {110, 602 , 663}
giet 2•55 = 110 vanuit B in A. Dan is {a, b,
c} = {220 , 492 , 663}
giet 4•55 = 220 vanuit C in A. Dan is {a, b, c}
= {440 , 492 , 443}
giet 8•55 = 440 vanuit B in A. Dan is {a, b, c}
= {880 , 52 , 443} |
Na afloop van al dat gieten zit er in B een hoeveelheid r
liter. Dat was de rest van deling van b door a,
dus altijd is r < a.
Ofwel: met deze procedure hebben we drie getallen a,
b, c veranderd in drie nieuwe getallen
waarvan de kleinste kleiner is dan a.
Je voelt het al aankomen waarschijnlijk: we gaan nu
oneindig afdalen.
Herhaal deze procedure steeds weer. Elke keer zal het kleinste
getal kleiner worden. Omdat het gehele getallen betreft zal het
kleinste getal (de rest r) op een gegeven moment gelijk
zijn aan nul.
Alsmaar stug door blijven gieten levert uiteindelijk een
vat met 0 liter op.
Hiernaast is dat voor ons voorbeeld uitgewerkt. We moesten maar
liefst 32 keer gieten om een vat leeg te krijgen, maar het lukt
gegarandeerd.
|
|
|