Noem het polynoom  f(x) = pnxn + pn-1xn-1 + ... + p1x + p0
Eerst bewijzen we de volgende stelling:

an - bn is deelbaar door  a - b

Het bewijs is eenvoudig:  ik geef gewoon het antwoord van deze deling:


Controleer het zelf maar door de haakjes van  (a - b) • (an - 1 + an - 2b + ... + abn - 2 + bn - 1) weg te werken.
Dan is het maar een kleine stap naar stelling nummer 2:

f(a) - f(b)  is deelbaar door  a - b

f(a) - f(b) = (pnan + pn-1an-1 + ... + p1a + p0) - ( pnbn + pn-1bn-1 + ... + p1b + p0) =
 =  pn(an  - bn) + pn-1(an-1 - bn - 1) + ... + p1(a - b)

Dit is deelbaar door a - b,  omdat volgens de eerste stelling alle  an - bn  deelbaar zijn door a - b.

We gaan nu bewijzen vanuit het ongerijmde:
Stel dat f(a) = f(b) = f(c) = 2  en dat  f(d) = 3   (met verschillende a, b, c, en d)

dan geldt:
d - a  is een deler van  f(d) - f(a) = 1
d - b  is een deler van  f(d) - f(b) = 1
d - c  is een deler van  f(d) - f(c) = 1

Maar omdat 1 maar twee delers heeft (nl.  1 en -1) moeten twee van deze drie gelijk zijn (pigeon-hole).
en als bijv. d - a = d - b  dan is  a= b en dat is in tegenspraak met het gestelde.
Daarmee is het bewijs geleverd:  als f(a) = f(b) = f(c) = 2  dan is  f(d) = 3  niet mogelijk.

Gevolg.
Als f(x) een polynoom met gehele coëfficiënten is, dan kan nooit gelden  f(a) = b  en  f(b) = c  en  f(c) = a
Op dezelfde manier als hierboven geldt nu:
b - c is een deler van   f(b) - f(c) = c - a   stel  (c - a)/(b - c) = p
c - a is een deler van   f(c) - f(a) = a - b   stel  (a - b)/(c - a) = q
a - b is een deler van   f(a) - f(b) = b - c   stel  (b - c)/(a - b) = r

Dan geldt p • q • r  = 1  met p,  q en r gehele getallen.
Stel dat a de kleinste van de drie (a, b, c) is, dan is  q < 0 dus q = -1
Dan is  (a - b)/(c - a) = -1  ⇒  a - b = -(c - a)  ⇒  a - b = a - c  ⇒  b = c
Voor b of c de kleinste gaat het precies zo. Kortom: minstens twee van de drie  a, b en c zijn gelijk!