Waarom is een priemfactorontbinding ιιnduidig?

Stel dat er wιl getallen zijn die twee verschillende priemfactorontbindingen hebben.
Noem dan het kleinste van al die getallen N.
Dan geldt dus  N = p1 p2 p3 p4 p5... = q1 q2 q3 q4 q5 ...

Daarbij zijn de p's en q΄s priemgetallen. Een priemgetal uit het p-rijtje komt niet voor in het q-rijtje, want als dat wel zo zou zijn zouden we beide kanten door dat priemgetal kunnen delen en hadden we een ander getal gevonden dat kleiner is dan N en ook verschillende priemfactorontbindingen heeft.

Herrangschik nu alle priemgetallen zodat p1 het kleinste priemgetal is (in ieder geval dus kleiner dan alle q's, en eventueel nog gelijk aan enkele andere p's)
Omdat dus p1 < q1 kunnen we q1 door p1 delen. Stel dat dat d keer gaat en rest r geeft, dan geldt dus:

q1/p1 = d + r/p1 met  0 < r < q1  want r is de rest bij het delen.
Maar dan geldt:
De laatste term aan de rechterkant is een geheel getal k
Daarvoor geldt   p1k = r q2 q3 q4 q5...
De rechterkant is kleiner dan N omdat r kleiner is dan q1
Dus is de linkerkant ook kleiner dan N
Dus het getal p1k is een getal dat kleiner is dan N maar dat toch op twee verschillende manieren ontbonden kan worden.
Dat is in strijd met het feit dat N het kleinste getal was waarvoor dat gold!
Dus bestaat er niet zo'n kleinste getal, dus bestaat er helemaal niet zo'n getal.

't Is wel een gedoe met al die pkrqd 's.
Met getallen zou het er zσ uitzien:

Stel dat  3 • 7 • 13 • 13 • 97 = 5 • 5 • 11 • 29 • 43  ('t scheelt niet eens veel!)
Delen door de kleinste (door 3 dus):   7 • 13 • 13 • 97 = 5/3 • 5 • 11 • 29 • 43
Maar uitdelen geeft   5/3 = 1 + 2/3
Dus 7 • 13 • 13 • 97 = (1 + 2/3) • 5 • 11 • 29 • 43 = 1 • 5 • 11 • 29 • 43 + 2/3 • 5 • 11 • 29 • 43
Dus is 2/3 • 5 • 11 • 29 • 43 een geheel getal  k
Vermenigvuldig weer met 3:   2 • 5 • 11 • 29 • 43 = 3 • k
Hier staat een getal op twee verschillende manieren ontbonden dat kleiner is dan  het oorspronkelijke omdat 2 kleiner is dan 5. De manieren zijn zeker verschillend omdat de factor 3 links niet voorkomt. (zelfs als de 2 geen priemgetal zou zijn maar nog verder te ontbinden kan er nooit een factor 3 komen want 2 < 3)