Leg om elk van de 650 stippen op de cirkel een kopie van zo'n ring, zodat de gekozen stip middelpunt van de ring is.
Dan kunnen deze ringen weliswaar wat uitsteken over de rand van de cirkel, maar ze liggen zeker allemaal binnen een cirkel met straal 19 die concentrisch is met de oorspronkelijke cirkel. (meer dan 3 uitsteken kan niet want dat is de buitenstraal van een ring)
De oppervlakte van deze nieuwe grotere cirkel is 361π.
De oppervlakte van een ring  is 5π, dus alle 650 kopieën  hebben samen een oppervlakte van 3250π.

Als geen enkel punt van de grote cirkel onder meer dan 9 ringen ligt, dan zou de oppervlakte van alle ringen samen minder dan 9 keer de oppervlakte van de cirkel zijn. Maar dat is niet zo, want 9·361π = 3249π.
Dus er is minstens één punt van de grote cirkel dat onder 10 of meer ringen ligt. Noem dit punt T.

Kies één van die 10 ringen en stel dat het middelpunt ervan stip S1 is.
Dan ligt de afstand van S1 tot T tussen de 2 en 3 (anders ligt T niet onder de gekozen ring)
Maar dan pakken we nu de ring op, en leggen hem zo neer dat T het middelpunt wordt. Omdat de afstand van S1 tot T tussen 2 en 3 ligt, ligt dus nu stip S1 onder deze ring.
Maar deze procedure kunnen we voor alle 10 (of meer) ringen die op T liggen toepassen, dus dat geeft na afloop een stapeltje ringen precies boven op elkaar waar zeker S1 tm S10 onder liggen
Dus onder een ring met middelpunt T liggen minstens 10 stippen.