Laten we naar de middens van de verbindingslijnen kijken.
Het midden van twee punten heeft coördinaten:

Dat midden is weer een roosterpunt als de coördinaten geheel zijn, en dat is zo als x1 + x2 en y1 + y2 beiden even zijn.
x1 + x2 is even als de pariteit van x1 en x2 gelijk is (beiden even of beiden oneven)
Van de vijf punten zijn er altijd minstens drie waarvoor dat geldt. (2 gaten: even  en oneven  en vijf duiven: de x-en, dus minstens drie in één van de gaten)
Van deze drie punten geldt voor de y-coördinaten van minstens twee hetzelfde (2 gaten en 3 duiven).
Dus er zijn minstens 2 punten waarvoor het midden weer een roosterpunt is.