| Nee, nee het zijn geen 32 segmenten, maar
31. Laten we het aantal segmenten met n punten op de omtrek gelijkstellen aan S(n) Dan geldt dus S(1) = 1, S(2) = 2, S(3) = 4, S(4) = 8, S(5) = 16 maar S(6) = 31. Het bewijs maakt gebruik van de formule van Euler: V - R + H = 2 (het aantal V(lakken) - H(hoekpunten) + R(ibben) van een ruimtelijke figuur is gelijk aan 2) Beschouw nu een tweedimensionale veelhoek als de projectie van een ruimtelijk veelvlak met één vlak niet in zicht. Dan wordt de formule V - R + H = 1 en die geldt dus voor elke vlakke graaf. Voor n punten op de omtrek geeft elke groep van 4 punten een snijpunt binnen de cirkel, en er zijn C(n, 4) zulke groepen, dus ook C(n , 4) snijpunten. (C(n, 4) is het aantal combinaties van 4 uit n) Dus voor het totaal aantal knooppunten van de graaf geldt: H = C(n, 4) + n Bij elk intern punt komen 4 verbindingslijnen samen, en bij elk punt op de omtrek komen n + 1 verbindingslijnen samen (n - 1 van de lijnen door de cirkel en 2 van de cirkel zelf). Omdat elke verbindingslijn twee uiteinden heeft geldt voor het aantal verbindingslijnen 2R = 4C(n , 4) + n(n + 1) Dan geeft de aangepaste formule van Euler: V = 1 + R - H ofwel V = 1 + 2C(n, 4) + 0,5n(n + 1) - C(n , 4) - n Nu is 0,5n(n + 1) - n = 0,5n2 + 0,5n - n = 0,5n2 - 0,5n = 0,5n(n - 1) = n • (n - 1)/2 • 1 = C(n,2) Daarmee wordt de gezochte formule:
|
||
| En dat geeft voor n =
6: S = 31. De volgenden zijn trouwens n = 7: S = 57 en n = 8: S = 99 |
||