Verdeel het vierkant in vier vierkanten met zijde 0,5. Er zijn 4 vierkanten en 5 punten dus 2 punten moeten binnen één vierkant liggen. Die punten liggen niet meer dan 0,5√2 van elkaar want de diameter van zo'n vierkant is 0,5√2.
En deze gaat natuurlijk precies hetzelfde:
Als 5 punten binnen een gelijkzijdige driehoek met zijde 2 liggen,
dan liggen er minstens 2 binnen afstand 1 van elkaar
En dit is er nog eentje:
Als 6 punten binnen een cirkel met straal 1 liggen,
dan liggen er altijd 2 binnen afstand 1 van elkaar.

Verdeel de cirkel in zes gelijke segmenten en draai die zó dat één van de punten precies op de rand ligt. Dan zijn er voor de andere 5 punten nog 4 niet-aanliggende segmenten over. Dus ligt minstens één van de punten in een aangrenzend segment (of twee punten samen in een ander segment).

Vooruit dan maar; een toegift.

In een vierkant met zijde 1 liggen 51 punten.
Bewijs dat er dan altijd drie punten zijn die bedekt kunnen worden door een cirkel met straal 1/7.

Verdeel het vierkant in 25 kleinere vierkanten met zijden 1/5.
Dan liggen er in minstens één van die vierkantjes 3 van de punten (pigeonhole).
Maar een vierkant met zijde 1/5 heeft omgeschreven cirkel met straal √{(1/10)2 + (1/10)2} = √(1/50)
Dat is groter dan 1/7  want dat is √(1/49)
Leg de cirkel dus op het vierkantje met de drie punten erin.