© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Bewijs 1
 
Stel  er zijn gehele getallen  p en q te vinden zo, dat  √2 = p/q
 
Vermenigvuldigen met q geeft  q√2 = p
Kwadrateren geeft  2q2 = p2
Laten we p en q gaan ontbinden in factoren.
Hoeveel 2en staan er dan in bovenstaande vergelijking?
p2 heeft een even aantal factoren 2 (namelijk het dubbele van het aantal in p)
q2 ook.
Maar door die ene 2 links extra staan er dan aan de linkerkant een oneven aantal 2en en aan de rechterkant een even aantal.
Dat kan niet!
Dus is de oorspronkelijke aanname fout.
QED!!!

 
Bewijs 2

Stel er zijn gehele getallen p en q te vinden zo, dat √2 = p/q 

Dan geldt  p2 = 2q2
Kies nu  p2 = 2q - p  en  q2 = p - q
Dan geldt:
 
Maar ook:
 

1 < Ö2 < 2
1 < p/q < 2
q < p < 2q
0 < p - q < q
0 < q2 < q
   
Met  p2/q2 hebben we dus een nieuwe breuk gevonden die ook gelijk is aan √2, en die een kleinere noemer heeft dan de oorspronkelijke.
Maar dan kunnen we met deze nieuwe breuk op dezelfde manier wéér een breuk met een nog kleinere noemer vinden, en zo alsmaar door. We hebben een oneindig lange rij positieve getallen die steeds kleiner worden.
Dat kan niet!
Dus is de oorspronkelijke aanname onjuist.

(deze methode heet de "method of infinite descent" en is voor 't eerst gebruikt door...Fermat)