AANNAME:
Stel dat x een breuk is en dat xx
rationaal is en dat x niet geheel is.
KUNNEN WE OP ONZIN UITKOMEN?
Dan is x te schrijven als a/b
(met a en b gehele getallen en b > 1, en
a/b niet verder te vereenvoudigen.).
En ook is xx te schrijven als c/d
(c/d niet verder te vereenvoudigen)
(a/b)(a/b) =
c/d
(beiden tot de macht b nemen) ⇒
(a/b)a = (c/d)b
⇒ aadb
= cbba
Elk geheel getal is slechts op één manier in
priemfactoren te ontbinden. Stel dat getal b een
priemfactor p heeft en dat die factor r keer
voorkomt in de priemfactorontbinding van b. Stel
verder dat deze factor s keer in de priemfactorontbinding
van d voorkomt.
Hoe vaak komt p dan voor in de vergelijking hierboven?
| • |
in ba komt hij ra keer
voor |
| • |
in a nul keer omdat a/b niet
te vereenvoudigen is, dus in aa ook
nul keer. |
| • |
in db komt hij sb
keer voor met s > 0; dat moet omdat p
in de rechterkant van de vergelijking minstens één
keer voorkomt, dus moet dat ook in de linkerkant van de
vergelijking. In a komt hij niet voor, dus moet
hij welk in d voorkomen. |
| • |
in c nul keer omdat hij in d voorkomt
en omdat c/d niet te vereenvoudigen was.
Dus in cb ook nul keer. |
Omdat p aan beide kanten even vaak moet voorkomen
moet gelden ra = sb ⇒
a/b = s/r
Maar omdat a/b niet te vereenvoudigen is, moet
s/r dat wél zijn en zal dus b een
deler van r zijn.
Dus het aantal keren dat p in b voorkomt is een
veelvoud van b. Maar dan is b een veelvoud van pb.
En jawel, daar is de onzin al, want pb
is altijd groter dan b.
Dus kan de aanname niet waar zijn en is de stelling
bewezen. |