| de geboorte van
i |
|
|
De allereerste keer dat je met i
kennismaakt hoor je meestal iets als i =Φ-1
(alhoewel het iets netter is te zeggen dat i een oplossing is van
de vergelijking x2 + 1 = 0)
De meesten die voor het eerst zoiets horen reageren met ongeloof, verbijstering of zelfs
kwaadheid.
"Φ(-1), jaja, wat een flauwekul, dat
kαn natuurlijk helemaal niet"
En ook na een poosje wennen aan i vinden velen het nog steeds
niet een "θcht" getal; meer een soort handige
rekenmanier. Toch is dat niet zo. Het zou consequenter zijn dat iemand
die zegt "Ik geloof niet in de Φ-1"
ook zou zeggen "Ik geloof niet in -1" of "Ik
geloof niet in Φ2".
De aversie tegen i komt waarschijnlijk voort uit het feit
dat je je bij i niets fysieks kunt voorstellen, terwijl -1 en Φ2
nog punten op de getallenlijn zijn. De grootte van -1 en Φ2
is de afstand tot het punt nul.
En toch kan dat met i net zo goed. Ik zal proberen
duidelijk te maken hoe i een logische stap in onze getallenleer
is.
Natuurkundigen weten dat de meeste dingen die we meten niet alleen
een grootte hebben, maar ook een richting. Krachten, Snelheden,
Magneetvelden, noem maar op; ze worden allen gekenmerkt door een
grootte en een richting. Zo'n grootheid noemen we een VECTOR, zeg maar
gewoon een PIJL.
De getallen op onze getallenlijn hebben eigenlijk alleen een grootte;
namelijk hun afstand tot het getal nul. Daarom lijkt het logisch om te
gaan proberen om onze getallen door een pijl vanaf het getal nul te gaan
voorstellen:
|
|
|
 |
|
|
In de rechterfiguur zie je, dat het dan
nodig is dat zo'n nieuw "getal" gekenmerkt wordt door
twee groottes. Onze "oude" getallen worden dan weergegeven
door (a , 0).
Laten we eens kijken hou onze oude bewerkingen met de nieuwe getallen
werken. |
OPTELLEN lijkt me logisch: om
twee pijlen bij elkaar op te tellen leg je ze gewoon achter elkaar.
Hiernaast zie je dat dan moet gelden:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) |
 |
|
VERMENIGVULDIGEN is
een stuk lastiger. Hoe vermenigvuldig je twee pijlen met elkaar?
Laten we beginnen met het vertrouwde: ons oude 2 3 = 6 wordt
nu (2, 0) (3, 0) = (6, 0)
Het lijkt erop alsof vermenigvuldigen met (a , 0) de pijl gewoon a
keer zo lang maakt.
Ons oude -1 4 = -4 wordt nu: (-1, 0) (4, 0) =
(-4, 0)
Vermenigvuldigen met -1 is draaien over 180Ί.
Maar dan lijkt het logisch om vermenigvuldigen met Φ-1
gelijk te stellen aan draaien over 90Ί!!!!!!!!!
Immers dat is zoiets als "halverwege vermenigvuldigen met -1"?
Als je immers twee keer doet komt het neer op vermenigvuldigen met -1. |
|
|
 |
|
|
En nu hebben we ineens de plaats van een
nieuw getal.
Het oude getal Φ-1 bestond niet, maar nu
bestaat wel het nieuwe getal (0, i)
Met onze optelregel vinden we nu ook de naam van de andere
punten in het vlak (zie hiernaast)
|
 |
|
Hoe is het met vermenigvuldigen met een
willekeurig getal?
We zagen al dat bij vermenigvuldigen met een "oud" getal de
pijl een aantal keer zo lang wordt, en dat bij vermenigvuldigen met i
de pijl wordt gedraaid.
Dus zal een vermenigvuldiging met een willekeurig getal wel een
combinatie van lengte van de pijl veranderen en draaien van de
pijl zijn. Dat heet een DRAAIVERMENIGVULDIGING.
De hoek waarover gedraaid wordt en de factor waarmee wordt
vermenigvuldigd hangen af van het getal waarmee wordt vermenigvuldigd.
Laten we het zo simpel mogelijk houden, en die hoek en die factor gelijk
stellen aan de hoek en de lengte van het getal waarmee wordt
vermenigvuldigd.
Voorbeeld: we hebben het getal (de pijl) (a,b) en
willen dat vermenigvuldigen met getal (x, y)
Stel dat bij (a,b) een hoek a
en een lengte r horen, en bij (x,y) een lengte s
en een hoek b.
Dan geldt a = r cosa
en b = r sina
en x = s cos b
en y = s sin b
Door vermenigvuldigen wordt de lengte van (a,b) dan dus
met s vermenigvuldigd en bij de hoek van (a,b)
wordt b opgeteld.
Dus (a,b) (x,y) heeft hoek a
+ b en lengte r s
Het eerste kental van dit product is dan r s
cos (a + b) en
het tweede r s sin (a
+ b)
maar
r s cos (a
+ b) = r s (cosa
cosb - sina sinb)
= (r cosa)(s cosb)
- (r sina)(s sinb)
= a x - b y
r s sin(a + b)
= r s (sin a cosb
+ cosa sinb) = (r
cosa)(s sinb)
+ (r sina)(s cosb)
= a y + b x
CONCLUSIE:
| (a, b) (x, y)
= (ax - by , ay + bx) |
|
|
Zo. Nu kunnen we onze
"nieuwe" getallen tenminste met elkaar
vermenigvuldigen.
Da's prettig....
Hiernaast zie je bijvoorbeeld de vermenigvuldiging
(3 + i)(1 + 2i) = (1 + 7i) met pijlen
uitgebeeld (daarbij is nog gebruik gemaakt van i
i = -1)
De lengte van de groene pijl is dus het product van de lengtes
van de andere pijlen, en de hoek met de horizontale as is beide
andere hoeken bij elkaar opgeteld.
Hoezo kunnen we ons "niets voorstellen" bij i
? |
 |
|
|
