Wat blijft er over in de complexe
wereld van dit mooie systeem?
Weinig.
Laten we een poging doen om "groter" en
"kleiner" in de complexe wereld te definiëren.
een logische afspraak zou de lexicografische zijn (de volgorde
in het woordenboek):
|
a + bi < c
+ di
als geldt (a < c) of
(a = c en b < d) |
|
|
Dat lijkt een logische afspraak. Omdat elk reëel
getal n geschreven kan worden als n +
0i blijven alle "groter" en "kleiner"
eigenschappen van de reële getallen intact.
Da's mooi.
Maar hoe zit het met "echt" complexe getallen? Laten
we de simpele regeltjes van hierboven eens testen:
| 1. |
a + bi < c
+ di en c + di < e + fi
dan is inderdaad a + bi
< e + fi
immers als a < c zijn
we al klaar: c £
e, dus a < e
ook als c < e zijn we klaar: c
³ a dus is
zeker a < e
het overgebleven geval is a = c = e
maar dan is zeker b < d en d
< f, dus b < f |
|
|
| 2. |
ook deze klopt nog, dat is eenvoudig
zelf na te gaan. |
|
|
| 3. |
Maar hier loopt het mis.
omdat 0 = 0 + 0i en i = 0 + 1i
geldt dat 0 < i
let op wat er gebeurt als we beginnen met het
ware -1 < 1 en vermenigvuldigen met i:
-1 < 1 Þ -i
< i Þ
-i2 < i2 Þ
--1 < -1 Þ 1
< -1
Je reinste flauwekul! |
|
|
Het komt allemaal door de ongelijkheid 0 < i
, maar het komt niet door de manier (lexicografisch) waarop we
"groter dan" hebben gedefinieerd.
Ook als zou gelden i < 0 krijgen we flauwekul als we
dat veranderen in -i > 0 en de
vergelijking een paar keer met -i vermenigvuldigen:
-1 < 1 Þ
i < -i Þ
-i2 < (-i)2 Þ
--1 < ---1 Þ
1 < -1
Zie je wel!
Het hangt dus niet af van de definitie van groter of kleiner,
het komt eenvoudigweg door het vergelijken van reële met
imaginaire getallen. Als we dat willen kunnen we iets eenvoudigs
als eigenschap 3 niet meer accepteren!!!
|