De verjaardagen  van Sociale Simon.
Simon werkt bij een klein bedrijf. Ze noemen hem Sociale Simon omdat hij altijd en overal alles gelijk wil verdelen over iedereen. 't Is een beetje een nerd; behoorlijk wereldvreemd. Hij is op 1 april jarig en daarom besluiten zijn collega's om een grap met hem uit te halen. Collega Hans gaat een praatje met hem maken:

Hans: Goh, Simon, het zou toch wel leuk zijn als je je verjaardag zou vieren.
Simon: Ach ja, nou, nee, tja, kweetniet ehh...
Hans: Waarom niet?
Simon: Nou ja,....ik zit een beetje krap op het moment, zo'n feest,dat kan ik niet betalen.
Hans:  Dan vraag je toch entreegeld? Ik heb al met iedereen overlegd; ze willen allemaal graag dat er veel mensen worden uitgenodigd, en daarom wil iedereen zoveel entreegeld betalen als er mensen zijn. Dus bij 5 mensen krijg je 5 • 5 = 25 euro  en bij 8 mensen ....
Simon: Ja ja, je bedoelt f(n) = n2 . Hmmm.... Nou vooruit , dan nodig ik IEDEREEN uit. Dat is wel zo sociaal.
Er werken 7 mensen die dus allemaal uitgenodigd worden. Ze beloven Simon dat ze allemaal zullen komen. Dus Simon zal 8 • 8 = 64 euro ontvangen (uiteraard betaalt hij zelf mee!). Enthousiast als hij is bestelt hij meteen 8 gebakjes bij de bakker (natuurlijk precies voor iedereen één).
Maar dan komt de grap.....
Een week voor het feest zegt de eerste collega af (hij heeft al wél betaald). Simon is in paniek: 8 gebakjes voor 7 mensen is niet eerlijk! En de gebakjes zijn al besteld, dus hij durft de bakker niet te vertellen dat het er minder moeten zijn.
Dan ziet hij de oplossing: Hij bestelt gewoon 6 gebakjes EXTRA; dan heeft hij er 14 en krijgt iedereen er 2. Eerlijk! Meteen belt hij de bakker met het goede nieuws.
De volgende dag echter zegt de volgende collega af. 14 gebakjes voor 6 mensen kan niet natuurlijk, dus hij moet er wel 4 bijbestellen; 14 + 4 = 18 en iedereen krijgt er drie.
De volgende dag...... je snapt het al: er belt steeds iemand af, en het aantal gebakjes groeit en groeit.
Zo is de bestelling van Simon achtereenvolgens  8, 14, 18, 20, 20, 21, 22 gebakjes.
Uiteindelijk heeft iedereen afgebeld en eet hij in z'n eentje 22 gebakjes op!

Dat vinden zijn collega's nou een leuke 1 april grap........

En het jaar erna doen ze precies hetzelfde! Alleen zijn er dan intussen al 15 mensen op het bedrijf.
Dus is de bestelling van Simon  achtereenvolgens  15, 28, 39, 48, 55, 60, 63, 64, 70, 72, 75, 76, 78, 78 gebakjes
Uiteindelijk eet hij in z'n eentje 78 gebakjes op, maar goed, hij heeft wel 15 • 15 = 225 euro gekregen.

Zo gaat het jaren door. Het bedrijf wordt groter en groter en arme Simon moet meer en meer gebakjes eten. Dat kost hem wel steeds meer geld, maar goed, het bedrag dat hij ontvangt groeit ook flink.
Dan rijst bij hem de onvermijdelijke vraag:

Wat is eerlijk:
Bij welke prijs voor een gebakje zijn de inkomsten uiteindelijk (als het aantal mensen groeit en groeit) gelijk aan de uitgaven?

In het eerste geval (8 mensen) zou een gebakje 64/22 = 2,90 euro moeten kosten, in het tweede geval (15 mensen)  225/78 = 2,88 euro.
Gaat dit bedrag naar een limietwaarde als het aantal mensen naar oneindig gaat?

Jazeker, en die limiet is.......... p  natuurlijk !!!!!

Om een beetje een idee van het proces te krijgen bekijken we het geval van 100 mensen (inkomsten 1002 = 10000):
x
100
99
98
97
96
95
94
93
92
91
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76		 y
100
198
294
388
480
570
658
744
828
910
990
1068
1144
1218
1290
1360
1428
1494
1558
1620
1680
1738
1794
1848
1900		 z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
x
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51		 y
1950
1998
2044
2088
2130
2170
2208
2244
2278
2310
2340
2368
2394
2418
2440
2460
2478
2494
2508
2520
2530
2538
2544
2548
2550		 z
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
x
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26		 y
2550
2597
2640
2679
2714
2745
2772
2795
2814
2829
2840
2847
2850
2886
2916
2940
2958
2970
2976
2976
3000
3016
3024
3024
3042		 z
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
78
81
84
87
90
93
96
100
104
108
112
117
x
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1		 y
3050
3072
3082
3102
3108
3120
3135
3150
3162
3168
3180
3192
3198
3204
3212
3220
3222
3224
3227
3228
3230
3232
3234
3234
3234		 z
122
128
134
141
148
156
165
175
186
198
212
228
246
267
292
322
358
403
461
538
646
808
1078
1617
3234
De eerste kolom geeft het aantal gasten op dat moment, de tweede kolom het aantal gebakjes en de derde kolom hoeveel gebakjes iedereen krijgt.
Uiteindelijk eet Simon in zijn eentje 3234 gebakjes. De prijs per gebakje zou moeten zijn 10000/3234 = 3.09

In het begin (rode gedeelte van de tabel) neemt het aantal gebakjes per persoon (z) steeds met 1 toe. Daarom geldt voor dat deel de formule:  
      
      (totaal aantal gebakjes) = (101 - aantal mensen) * (aantal mensen)

Ofwel:  y = (101 - x) • x
Dat is een parabool. Ons proces volgt deze parabool tot de top (50, 2550), Verder kan niet, want dan zou x afnemen.
Vanaf x = 50 meent het aantal gebakjes per persoon steeds met 2 toe (blauwe gebied).
Daarvoor geldt:  y = (151 - 2x) • x
Deze parabool heeft een maximum (38, 2850) en op dat punt stappen we over op de volgende parabool:
y = (189 - 3x) • x   (groene gebied)
Enzovoort.
We springen van parabool naar parabool, zoals hiernaast is aangegeven.
de gekleurde parabooldelen lopen naar y = 3234.
Laten we het algemene geval van dit parabool-gereis beschouwen.
Stel dat de formule van de kde parabool is  y = (ck - kx) • x, waarin ck een constante is.
De top van de kde parabool ligt dan bij  xk = ck/2k  en dus is ck = 2kxk en de hoogte van de top   yk = k • xk2      (vul zelf maar in).
Verder weten we nog dat parabool nummer k door de top van parabool nummer k - 1 moet gaan.
Die top heeft coördinaten  yk - 1 = (k - 1) • xk - 12
Als die op parabool k ligt, moet gelden:  yk - 1 = (ck - kxk - 1) • xk - 1 =  (k - 1) • xk - 12
Substitueer de eerdere formule voor ck:  (2kxk - kxk - 1)xk - 1 = (k - 1) • xk - 12
Herrangschikken geeft   een recursierelatie voor de xk: 

dat geldt overal behalve voor k = 1, want we begonnen met y0 = x0  in plaats van  y0 = kx02
Laten we de serie x-en op gaan schrijven:

x0 = n  (100)
(50)
(37,5)
(31,25)
......
Dat levert de volgende formule op: 
De bijbehorende y wordt dan: 

Als we k naar oneindig laten gaan vinden we het aantal gebakjes dat Simon zal gaan kopen.
Het geld dat hij binnenkrijgt is gelijk aan (n + 1)2  (we begonnen te tellen bij x0)
Wat een gebakje mag kosten (K) is dus:

En dat is precies de benadering die Wallis vond voor het getal p !!!!
Er is nog een grappige tweede manier om de 3234 uit de tabel te vinden. Dat gaat met het volgende recept:
stap 1 schrijf alle natuurlijke getallen in een rij op
stap 2 kras elk tweede getal weg, te beginnen met het derde van de rij
stap 3 kras van de nieuwe rij elk derde getal weg, te beginnen met het vijfde
stap 4 kras van de nieuwe rij elk vierde getal weg, te beginnen met het zevende
stap 5 kras van de nieuwe rij elk vijfde getal weg, te beginnen met het negende
enz.

Dat zou deze rijen opleveren:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,...
1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,...
1,2,4,6,10,12,16,18,22,24,28,30,34,36,40,...
1,2,4,6,10,12,18,22,24,30,34,36,...
1,2,4,6,10,12,18,22,30,34,36,...

In deze laatste rij zie je bijvoorbeeld dat met 1 persoon er1 gebakje moet worden gekocht, met 2 personen 2 gebakjes, met 3 personen 4 gebakjes, met 4 personen 5 gebakjes, met 5 personen 10 gebakjes enz.....

Grappig hé?