Nieuwe pagina 1

Parallelschakelingen

Hiernaast staan een schakeling van twee weerstanden parallel.
Voor het berekenen van de stroom erdoor kunnen we deze twee weerstanden opvatten als één vervangingsweerstand van grootte R, waarbij dan moet gelden:

Deze breuken met teller 1 heten eenheidsbreuken.
En als er nog meer weerstanden parallel worden geschakeld komen er aan de rechterkant van de vergelijking gewoon nog meer eenheidsbreuken te staan.
Een wiskundig interessante vraag is natuurlijk:

Welke gehele vervangingsweerstanden R zijn te fabriceren en hoe kan dat zo efficiënt mogelijk?

En daar komen de Fibonacci-getallen alweer aangemarcheerd!
Stel dat we getallen hebben waarvoor geldt G_n = G_{n - 1} + G_{n - 2}. (Fibonacci-getallen zijn hier een speciaal geval van want dan moet ook nog gelden G₀ = G₁ = 1). Voor twee willekeurige getallen m en n (met m > n) geldt dan:

Neem bijvoorbeeld de Fibonacci-getallen met n = 5 (G₅ = 8) en m = 10 (G₁₀= 89) dan krijg je:

Ofwel weerstanden van 12816, 65, 168, 442, 1155, 3026 en 7920 ohm kun je parallel schakelen om een totale vervangingsweerstand van 40 ohm te krijgen.
Hoe vind je bij een willekeurige totale weerstand uit welke parallelle weerstanden hij is opgebouwd?
Stel we willen een weerstand R fabriceren.
Dan splitsen we R in twee factoren R = p • q en nemen gewoon deze p en q als de beginwaarden van onze rij getallen,
dus G₀ = p en G₁ = q
Met p en q kunnen we vervolgens de volgende tabel maken. (hier gedaan voor p = 5 en q = 8 (dus een weerstand van 5 • 8 = 40).

n	G_n	G_n • G_{n - 1}	G_n • G_{n - 2}
0	5	-
1	8	40	-
2	13	104	65
3	21	273	168
4	34	714	442
5	55	1870	1155
6	89	4895	3026
7	144	12816	7920
8	233	33552	20737

Neem nu van de laatste kolom de eerste m rijen plus van de tweede kolom alleen de m^de rij (geel hierboven).
De inversen van al die getallen leveren de inverse van pq op.

Eigenlijk staat hier ¹/₄₀ op een heleboel manieren (door steeds een andere m te nemen):

¹/₄₀	= ¹/₆₅ + ¹/₁₀₄
	= ¹/₆₅ + ¹/₁₆₈ + ¹/₂₇₃
	= ¹/₆₅ + ¹/₁₆₈ + ¹/₄₄₂ + ¹/₇₁₄
	= ¹/₆₅ + ¹/₁₆₈ + ¹/₄₄₂ + ¹/₁₁₅₅ + ¹/₁₈₇₀
	= ¹/₆₅ + ¹/₁₆₈ + ¹/₄₄₂ + ¹/₁₁₅₅ + ¹/₃₀₂₆ + ¹/₄₈₉₅
	...

Kortom: zo kunnen we elke vervangingsweerstand maken met hoeveel weerstanden je maar wilt.

Nog een laatste voorbeeldje?

Welke weerstand wil je maken?

Wat zeg je? 24 Ohm?

Oké; en met hoeveel weerstanden moet die gemaakt worden?

Tjonge.... met 5 maar liefst?

Nou vooruit dan maar......

Schrijf 24 (bijvoorbeeld) als 4 • 6 en begin de "Fibonacci"-rij 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178, 288, ...
Maak een tabel als hierboven:

n	G_n	G_n • G_{n - 1}	G_n • G_{n - 2}
0	4	-	-
1	6	24	-
2	10	60	40
3	16	160	96
4	26	416	260
5	42	1092	672
6	68	2856	1768

¹/₂₄ = ¹/₄₀ + ¹/₉₆ + ¹/₂₆₀ + ¹/₆₇₂ + ¹/₁₀₉₂

GELUKT!

Dit is nog een aardige toepassing:

Als ik op een roltrap omhoog loop doe ik er precies 36 seconden over om boven te komen.
Als de trap stilstaat doe ik er ook een geheel aantal aantal seconden over.
Hoeveel?

oplossing:
Noem x het aantal seconden van de lege trap, en y het aantal seconden van mij als de trap stilstaat.
Dan geldt (v = snelheid, t = tijd, s = afstand):
stilstaande trap: v = ^s/_y en lege trap: v = ^s/_x
Samen is dat V = ^s/_y + ^s/_x dus 36 = ^s/_V
dus ¹/₃₆ = ^V/_s = ¹/_x + ¹/_y : de s valt weg!!
Met onze methode hierboven vinden we bijvoorbeeld met 36 = 4 • 9 : ¹/₃₆ = ¹/₅₂ + ¹/₁₁₇Een oplossing is dus: ik alleen 52 seconden, de trap alleen 117 seconden.