|
Een tovertabel?
Op mijn 57e verjaardag kreeg ik een kaartje met
op de achterkant de volgende tabel:
| 19 |
8 |
11 |
25 |
7 |
| 12 |
1 |
4 |
18 |
0 |
| 16 |
5 |
8 |
22 |
4 |
| 21 |
10 |
13 |
27 |
9 |
| 14 |
3 |
6 |
20 |
2 |
Er lijkt geen systeem in te zitten, maar toch heeft deze tabel een
merkwaardige eigenschap!
De volgende instructie was er bijgeschreven:
| 1. |
Bedek een willekeurig getal met een muntstuk.
|
| 2. |
Streep daarna alle getallen uit dezelfde kolom en uit dezelfde rij weg.
|
| 3. |
Kies een nieuw (nog niet weggestreept) getal. Leg er een muntstuk op
|
| 4. |
en streep vervolgens alle getallen uit dezelfde rij en kolom weer
weg.
|
| 5. |
Herhaal dit tot alle getallen zijn weggestreept of door een
muntstuk zijn bedekt
|
| 6. |
Tel vervolgens alle getallen onder de muntstukken op. |
| 7. |
Gefeliciteerd met je verjaardag!!!! |
Het duurde even voordat ik doorhad hoe ontzettend simpel deze tabel is!
Wij hebben hem al vele keren eerder onder ogen gehad. Vanaf de basisschool
worden onze kinderen er al mee geconfronteerd. Het is namelijk een (verdekt
opgestelde) OPTELTABEL!
Deze opteltabel:
|
|
12 |
1 |
4 |
18 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
| 7 |
|
19 |
8 |
11 |
25 |
7 |
| 0 |
|
12 |
1 |
4 |
18 |
0 |
| 4 |
|
16 |
5 |
8 |
22 |
4 |
| 9 |
|
21 |
10 |
13 |
27 |
9 |
| 2 |
|
14 |
3 |
6 |
20 |
2 |
Waarom werkt dit?
Elk getal uit de tabel vertegenwoordigt de som van twee van de basisgetallen.
Door nu de rij en kolom verder weg te strepen komen deze twee basisgetallen in
een later gekozen som niet meer voor. Dus de uiteindelijke som bestaat
precies uit alle acht de basisgetallen opgeteld!
Een speciaal geval is natuurlijk een tabel die alle getallen in
opklimmende volgorde heeft.
Die ziet er zó uit:
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| 5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| 10 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
| 15 |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| 20 |
|
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
Deze tabel geeft het getal 65 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 0 + 5 + 10 + 15 + 20).
Met andere afmetingen van onze tabel vinden we ook een andere som. Er blijkt te
gelden voor som S en afmetingen n bij n:
Als je de tabel niet begint met 1 maar met een hoger getal a, dan zijn
er n vakjes die elk a - 1 hoger zijn dan bij de tabel die met 1
begint, dus de som wordt n•(a - 1) groter:
Voor n = 4 wordt dit S(4) = 34 + 4a - 4 = 30 + 4a
Dat maakt het mogelijk snel en tabel te maken voor elke willekeurige som.
Laat iemand een nummer boven de 30 noemen. Trek er 30 vanaf en deel door
4. Dat geeft het begingetal van de tabel.
Neem bijvoorbeeld het getal 43, dan vinden we begingetal 31/4,
en de serie getallen wordt:
31/4 , 41/4 , 51/4
...
Het is natuurlijk het leukst om deze getallen door elkaar in het vierkant te
zetten. Kies bijvoorbeeld binnen een rij de volgorde 1e - 3e - 2e - 4e en vul de
rijen in willekeurige volgorde in. Dat geeft:
Om de breuken uit de laatste tabel weg te halen kun je van alle getallen
de 1/4 gewoon weglaten, maar de grootste vier getallen
eentje hoger maken. Dat laat de som gelijk, en geeft deze tabel:
(als de breuken allemaal 2/4 waren konden we ze ook
weglaten maar bij de hoogste vier 2 optellen)
Hetzelfde kunnen we trouwens ook doen met vermenigvuldig-tabellen. Dan
vind je het eindgetal door de getallen onder de munten met elkaar te
vermenigvuldigen.
|
