© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Toename in een punt.

We gaan proberen de helling van een grafiek in een bepaald punt  te berekenen.

Nou is dat een beetje raar natuurlijk want in één punt is er immers helemaal geen helling? Een helling is altijd tussen twee punten in!
Toch zal iedereen het ermee eens zijn dat de grafiek hiernaast aan de rechterkant (bijvoorbeeld bij punt P in de buurt) een grotere helling heeft (steiler loopt) dan aan de linkerkant (bijvoorbeeld bij punt Q).

We gaan proberen de helling van de grafiek in punt P te berekenen.
Dat doen we als volgt:

Bereken eerst de helling van PQ. Dat kan met een differentiequotiënt  Δy/Δx.
Laat nu punt Q langzaam richting P lopen.
Bereken achtereenvolgens de hellingen van PQ2, PQ3, PQ4, ...
Tegen die tijd heb je een vergrootglas nodig om het verschil tussen de rode lijnen PQ en de grafiek zelf nog te zien. Die rode lijntjes liggen zo goed als "boven op de grafiek"

Dat laatste gaan we gebruiken voor de helling:

Als Q maar dicht genoeg bij P ligt,
dan is de helling van PQ gelijk aan de helling van de grafiek.

   
We zeggen eigenlijk dat de helling van de grafiek gelijk is aan de helling van de raaklijn  (de blauwe lijn hiernaast) Dat is de lijn die in punt P "tegen de grafiek aan" ligt. Je ziet dat de hellingen van PQ, PQ2, PQ3 enz. steeds meer gaan lijken op de helling van de raaklijn.

Laten we ze gaan berekenen.

De grafiek hoort bij de formule  y = 4 + x2

Daarmee kun je bij elk punt Q als je de xQ weet de bijbehorende yQ berekenen, en daarna de helling PQ met Dy/Dx waarbij P = (3, 13)
Dat geeft deze tabel:

  Q Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 ...
coördinaten (0.5, 4.25) (1, 5) (2, 8) (2.6, 10.76) (2.9, 12.41) (2.99, 12.9401) (2.999, 12.994001) ...
helling PQ 3,5 4 5 5,6 5,9 5,99 5,999 ...
Je ziet dat de helling van PQ gelijk wordt aan 6 (wie het nog niet vertrouwt rekent nog maar een paar punten Q extra uit, steeds dichter bij P). Daarom zeggen we dat de grafiek van y = 4 + x2  in het punt P(3, 13) helling 6 heeft. Dat is dus eigenlijk de helling van de blauwe raaklijn.
Dat geeft het volgende recept om de helling van een grafiek in een punt uit te rekenen:

   
Voorbeeld.

Bereken de helling van de grafiek van y = 3x3 + 2x in het punt waar x = 2

xP = 2  geeft  yP = 3 • 23 + 2 • 2 = 28 dus  P = (2, 28)
Neem xQ vlak naast xP, bijv. xQ = 2,001
Dat geeft  yQ = 3 • 2,0013 + 2 • 2,001 = 28,038018
dus Q = (2.001, 28.038018)
Δy/Δx = (28.038018 - 28)/(2.001 - 2) = 38,018
De helling in P is dus ongeveer 38.
   
Met de GR

Het kan uiteraard ook op de GR.
Daarvoor moet je de formule invoeren bij Y1=
en daarna  calc - dy/dx, en vervolgens toets je de waarde van xP in, gevolgd door ENTER.

   
 
 
  OPGAVEN
1. Een bungeejumper springt op tijdstip t = 0 (t in seconden) van een hoge toren naar beneden.
Voor de hoogte h (in m) geldt:  h(t) =  50 + 4,5t2 - 26t
       
  a. Welk getal uit de formule geeft aan dat de jumper omlaag springt ?
       
  b. Bereken de gemiddelde valsnelheid van de jumper gedurende de derde seconde.
       
  c. Bereken de valsnelheid van de jumper na 3 seconden
       
  d. Met welke snelheid komt de jumper weer op zijn starthoogte aan?
       
2. In deze opgave bekijken we het longvolume (V). Dit is de hoeveelheid lucht in de longen van de mens.
V in L en t de tijd in seconden.
       
  Een test om na te gaan hoe goed iemands longen werken is de zogeheten spirometrietest. De persoon moet tijdens deze test krachtig in een apparaat blazen. Zie de foto.

Benny moet zo’n test ondergaan. Het resultaat is te zien in de grafiek hieronder . Op de verticale as staat het volume uitgeademde lucht in liters en op de horizontale as de tijd in seconden.
       

  a. Hoe groot was de snelheid waarmee uitgeademd werd (in L/sec) op t = 1,0?
       
  b. Hoe groot was de gemiddelde hoeveelheid lucht (in L/sec) die werd uitgeblazen tussen t = 0,2 en t = 0,8?
Is er een tijdstip geweest waarop de proefpersoon met deze snelheid uitademde?
       
  c. Wanneer ademde Benny uit met een snelheid van  0,3 L/sec?
       
3. Iemand gaat een blok chocolade "au-bain-marie"  verwarmen. Dat doe je door een kom met het blok chocolade erin in een pan met heet water te hangen. Dat zorgt ervoor dat de temperatuur niet te snel toeneemt.
Voor de temperatuur T van de chocolade vanaf het moment (tijdstip t) dat de kom in de pan wordt geplaatst geldt de volgende formule:
     
 

Daarin is t de tijd in minuten en T de temperatuur in °C.
De chocolade is voldoende opgewarmd bij een temperatuur van  60 °C.
     
a. Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat de chocolade voldoende opgewarmd is
     
b. Als de snelheid waarmee de temperatuur op t = 2 stijgt zo zou blijven, hoe lang duurt het dan voordat de chocolade voldoende opgewarmd is?
Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
       
4. De formule  s = 56√(2t + 9) - 168 geeft de afgelegde afstand in meter na t seconden.
Op welk interval [1, p]  is de snelheid gelijk aan de snelheid op t = 2?
Geef een algebraïsche berekening en rond p af op één decimaal.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)