aantal priemgetallen, Riemann hypothese

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hoeveel priemgetallen zijn er?

Een erg interessante arithmetische functie is de functie թ(n) die aangeeft hoeveel priemgetallen er zijn die kleiner of gelijk aan n zijn.
Helaas is er op dit moment nog geen formule waarmee je direct bijvoorbeeld het miljoenste priemgetal kunt berekenen. Maar wiskundigen kunnen tegenwoordig al wel vrij goed inschatten hoe groot het miljoenste priemgetal bij benadering is. En dus is ook bekend hoeveel priemgetallen er ongeveer zijn die kleiner zijn dan een gegeven getal n.

De ontdekking daarvan is een moeilijk stuk wiskunde.
Dat begin met de zetafunctie ζ(n) = ¹/₁n + ¹/₂n + ¹/₃n + ¹/₄n + ....
Euler vond een ingenieuze manier om deze functie te koppelen aan de priemgetallen. Hij vond er zelfs een directe formule voor (geen makkelijke formule trouwens).
Riemann breidde de zetafunctie vervolgens uit tot alle complexe getallen. En de nulpunten daarvan kun je dan weer gebruiken om een schatting van թ(n) te maken.
Als je er meer over wilt weten, dan moet je de lessen over de zetafunctie (A21) bestuderen. In deze les behandelen we alleen de conclusies en resultaten daarvan.

Prime Number Theorem

Noteer het n^de priemgetal als p_n dan geldt:

թ(n) ≈ ⁿ/_ln(n) en p_n ≈ n ln(n)

Voor een snelle schatting: ln(n) is ongeveer 2,3 maal het aantal cijfers van n

De waarde van թ(n) is nog wat nauwkeuriger af te schatten met een integraal:

Dit is een bijzonder goede benadering. Er heerst het vermoeden dat | թ(x) - Li(x) | ≤ √x • ln(x)
Dit is niet zomaar een vermoeden: het is hetzelfde als de beroemde Riemann-hypothese. En dat is weer één van de Clay- Math-Institute Millenium problemen waarmee je 1 miljoen dollar kunt winnen als je er eentje van oplost.

Twee andere hypothesen uit deze lijst hebben trouwens ook met priemgetallen te maken:

Het vermoeden van Goldbach:

Elk even getal groter dan 2 is te schrijven als de som van twee priemgetallen.

Over priemtweelingen:

Er bestaan oneindig veel priemtweelingen
(dat zijn getallen (p, p + 2) die beiden priem zijn)