© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De ABC-formule
       
Als je het echt niet meer weet, dan kun je bij kwadratische vergelijkingen altijd terugvallen op de ABC-formule.

Dat is misschien niet altijd de snelste oplossing, maar wel een oplossing die eigenlijk altijd werkt.
Daarvoor moet je zo'n kwadratische vergelijking altijd eerst in de volgende basisvorm schrijven:
       
ax2 + bx + c = 0
       
Neem de kwadraten bij elkaar, neem de x-en bij elkaar en neem de losse getallen bij elkaar, en maak er ook nog  "= 0" van.
Als je het getal voor de kwadraten nu a noemt, het getal bij de x-en noem je b en het losse getal noem je c.

Voorbeeldje.
De vergelijking die we hebben is:     2 • (x - 4)  = 3x + (x + 4)(x - 2)
Dat lijkt in de verste verte nog niet op de vorm hierboven, maar let op hoe we de vergelijking stap voor stap kunnen veranderen:
3 • (x - 4) + 6x2 = 3x + (x + 4)(x - 2)
⇒  3x - 12 + 6x2 = 3x + x2 - 2x + 4x - 8
⇒  3x - 12 + 6x2 - 3x - x2 + 2x - 4x + 8 = 0
⇒  5x2 - 2x - 4 = 0
Voilà, daar is ie al!!!  Er geldt dus  a = 5 en  b = -2  en  c = -4  

Als dat gelukt is  dan geldt voor de oplossing  x  van de vergelijking:
       
       
Het teken  ±  betekent  niet "plusminus" of "ongeveer" zoals in het normale Nederlands, maar het betekent "plus óf min".
Eigenlijk staan hierboven dus twee formules:
       
       
Kijk uit met mintekens!!

Het "even invullen" van de ABC-formule gaat vaak mis als er mintekens in a, b of c voorkomen. En dan met name dat stuk onder die wortel. Dat is b2 - 4ac  en het heet de "DISCRIMINANT"
       

b2 - 4ac  is de DISCRIMINANT
       
TIP1  Als b een negatief getal is, dan moet je dat getal tussen haakjes zetten.
Dus  als b = -4  dan staat er  (-4)^2
       
TIP2 4ac is één geheel, dus alle mintekens daarin mag je vooraan zetten, bij die min die er al staat.
voorbeeldjes:
a = -1, b = 2, c = 5  geeft  b2 - 4ac = 22 - 4 • -1 • 5 = 4 - - 20 = 4 + 20 = 24
a = -3, b = 8, c = -2  geeft  b2 - 4ac = 82 - 4 • -3 • -2 = 64 - - - 24 = 64 - 24 = 40   
       
Is er altijd een oplossing?

 Nee natuurlijk niet dat kun je zelf toch ook wel meteen aan die formule zien toch?
Het zit hem allemaal in dat deel  W(b2 - 4ac):  die discriminant.
Als dat deel onder die wortel negatief is, dan bestaat de wortel niet en dus bestaat er dan ook geen antwoord.
En als dat stuk onder die wortel precies nul is dan staat er W0 en dan doet dat ± teken er niet toe  (immers ± 0 is altijd nul) dus dan is er één oplossing.

Samengevat:
       
b2 - 4ac  < 0   geeft  géén oplossingen 
b2 - 4ac  = 0   geeft  één oplossing
b2 - 4ac  > 0   geeft  twee oplossingen
       
Hier is een programmaatje voor je TI-83 dat de oplossingen van de ABC formule voor je berekent:
       
ClrHome
Prompt A
If A=0
Then
   Stop
Else
   Prompt B,C
   B^2 - 4AC ® D
   If D > 0
   Then
       (-B+Ö(D)) / (2A) ® X
      (-B-Ö(D)) / (2A) ® Y
      Disp "2 oplossingen:",X,Y
   Else
      If D = 0
      Then
         -B / (2A)  ® X
         Disp "1 oplossing:",X
      Else
         Disp "geen oplossing"
      End
   End
End
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Los exact op:
       
  a. 2x2  + 6x + 2 = 0
       
  b. -x2 + 5x + 4 = 0
       
  c. x2 - 7x + 4 = 0
       
  d. x2 + 3x - 10 = 0
       
2. a. (x + 3)(x - 2) = 6x
       
  b. x(x - 5) = 2(x + 3)
       
  c. x2 + x(x - 2) = 18
       
  d. (2x + 4)(5x - 2) + 64 = 0 
       
  e. x(x + 5) = x + 4(x + 7)
       
3. a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn y = 2x + 3  met de parabool  y = -x2 + 8
       
  b. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de parabolen  y =  x2 + 2x - 4  en  y = 3x2 - x - 6
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)