© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Afronden achter de komma.
       
Soms zijn we niet zo geïnteresseerd in hoe groot een getal precies is, maar nemen we wel genoegen met "ongeveer".
Als ik bijvoorbeeld in een restaurant graag wil weten hoe zwaar een biefstuk van de menukaart is, dan hoef ik echt niet te horen dat die  0,58342566  kilo weegt.  Ik vind 0,6 kilo eigenlijk ook wel genoeg informatie geven.
In zo'n geval is het wat mij betreft prima om het gewicht af te ronden op één cijfer achter de komma. Je zegt in zo'n geval ook wel "afronden op één decimaal"
       

decimaal  =  cijfer achter de komma
       
Om af te ronden op één decimaal kijk je naar de tweede decimaal:
•  Is die 5 of meer, dan gaat de eerste decimaal eentje omhoog
•  Is die 4 of minder dan blijft de eerste decimaal gelijk.
De rest laat je gewoon allemaal weg.
 
recept
afronden: kijk naar de eerstvolgende decimaal.
•  Is die 5 of meer, dan gaat de vorige decimaal eentje omhoog.
•  Is die 4 of minder dan blijft de vorige decimaal gelijk.
•  Alle volgende decimalen worden nul.

Dus om 0,58342566 af te ronden op 1 decimaal kijk je naar de 8. Die is meer dan 4, dus de 5 gaat eentje omhoog, en de rest wordt nul.:  dat wordt  0,6
En om 0,58342566 af te ronden op 2 decimalen kijk je naar de 3. Die is minder dan 5, dus de 8 blijft staan, en de rest wordt nul:  dat wordt  0,58.
       
Jared heeft op zijn proefwerken voor geschiedenis dit jaar de volgende cijfers gehaald:  7,3 - 6,1 - 6,3 - 4,4 - 5,6 - 4,1 - 5,6 - 4,4
Zijn leraar zegt dat dat een 5 op zijn eindrapport wordt.

Jared berekent het gemiddelde, en ziet dat er 5,475 uitkomt.
Hij stapt naar zijn leraar toe, en zegt:
       
Het valt te proberen natuurlijk.....
Ik denk dat het bij zijn geschiedenisleraar misschien best zal lukken, maar bij zijn wiskundeleraar heeft hij weinig kans!!!

Als je moet afronden op een aantal decimalen mag je ALLEEN naar de eerstvolgende decimaal kijken, niet naar wat daar verder nog achteraan komt!!!!!
       
Grote getallen.
       
In een museum staat een enorm Dinosaurusskelet.
"Goh, hoe oud is dat skelet eigenlijk" vraagt een nieuwsgierige bezoeker aan een suppoost.

"150.000.006 jaar" is het antwoord!

"Hoe weet u dat?"

"Nou toen ik hier zes jaar geleden kwam werken zeiden ze tegen mij dat het 150 miljoen jaar oud was"  zegt de man trots........		           
 
Wat zou jij tegen deze suppoost zeggen?

Die 150 miljoen is natuurlijk niet precies 150 000 000  maar een afgerond getal. Op het jaar nauwkeurig zullen ze echt niet weten hoe oud zo'n skelet is. Het lijkt erop dat er is afgerond op tientallen miljoenen jaren.

Wat houdt dat in?

10 miljoen is gelijk aan 10 000 000
Dat is een 1 met 7 nullen.
Als je afrondt op tientallen miljoenen jaren, dan betekent dat, dat jouw getal moet eindigen op 7 nullen.
Om te weten hoeveel nullen dat zijn  moet je de volgende namen uit je hoofd leren:
       
10 tien
100 honderd
1000 duizend
1 000 000 miljoen
1 000 000 000 miljard
1 000 000 000 000 biljoen
       
Het gaat nog wel verder, maar die komen niet zoveel voor. Die laatste biljoen is al vrij zeldzaam.
Je ziet ook dat het vanaf 1000 in stapjes van 3 nullen tegelijk gaat.

Daar tussen duizend en miljoen zitten nog  tienduizend en honderdduizend.
Daar tussen miljoen en miljard zitten nog  tien miljoen en honderd miljoen.
en ga zo maar door......

Dus als je moet afronden  "op honderdduizenden", dan moet jouw getal eindigen op 5 nullen.
En als je moet afronden "op tientallen miljarden", dan moet jouw getal eindigen op 10 nullen.

Hoe  gaat dat afronden in z'n werk?
 
Voorbeeld:
Geef het getal 246267883  in honderdduizenden nauwkeurig


Oplossing:
Honderdduizenden betekent dat het moet eindigen op 5 nullen
246267883
Die rode cijfers moeten nullen worden.
Het gaat net als met afronden:  kijk naar het eerste rode cijfer: dat is een 6
Dat is meer dan 4 dus de 2 wordt afgerond naar een 3.
Het wordt dan  246300000 
 
Tussendoor afronden.
 
Bij ingewikkelde berekeningen met meerdere stappen moet je proberen te voorkomen dat je tussendoor gaat afronden. Pas je eindantwoord mag je eventueel afronden.
Daarvoor kun je de knop ANS van je rekenmachine goed gebruiken.

Stel dat je x = 0,2436  moet invullen in de formule  y = Ö(3x + 4) + 2x3
En dan dat antwoord weer in  P = 2y4 -  8y + 2
Dan doe je dat gewoon zó:
0,2435 ENTER
Ö(3*ans + 4) + 2*ans^2  ENTER  (en nu staat dit nieuwe getal in ans)
2*ans^4 - 8*ans + 2 ENTER
Dat geeft 31,557073 en nu kun je afronden.
       
Geld verdienen met wiskunde?

Een bank rekent bedragen op een rekening uit in veel cijfers achter de komma, en rond het bedrag uiteindelijk af op gehele eurocenten (euro's met twee cijfers achter de komma.
Een slimme bankbediende bedacht dat hij al die naar beneden afgeronde deelbedragjes wel gratis op een eigen rekening zou kunnen storten, immers dat merkt toch niemand.

Als een klant bijvoorbeeld  328,2445 rente kreeg dan maakte de bankbediende 328,24 over naar de klant en 0,0045 naar zichzelf.
Al die kleine mini-bedragjes gaven opgeteld toch een aardig bedrag.
Stel dat een bank 100 miljoen transacties per jaar doet.
Per keer houdt de medewerker er gemiddeld 0,0025 aan over
Dat is toch maar lekker 250000 !!
   
Afrekenen in de supermarkt

De meeste supermarkten ronden de bedragen aan de kassa af op 5 cent.
Op een gegeven moment moet ik in  de supermarkt drie bedragen afrekenen:  5,84 en 12,63 en 1,42
De cassière telt ze op tot totaal 29,99 en rekent dus 30,00.
"Wacht even" zeg ik snel;  "Ik wil de eerste twee graag apart afrekenen"".
De cassière berekent nu  5,84 + 12,63 = 18,57 dus dat wordt 18,55
En daarna  1,42  wordt  1,40
Samen heb ik nu 29,95 betaald
Toch mooi 5 cent gewonnen!
Ik ga voortaan al mijn producten groeperen in groepjes waarvan het totaal naar beneden afgerond wordt........		  
       
Wetenschappelijke notatie.  
       
Elke keer als je met tien vermenigvuldigt, of door tien deelt, dan schuift de komma op, kijk maar:
       

       
Van deze eigenschap kun je op een handige manier gebruik maken om hele grote en hele kleine getallen aan te geven. Dat heet de wetenschappelijke notatie.

Hoe werkt het?

Om een heel groot of heel klein getal aan te geven begin je met een getal tussen 0 en 10, en daarachter schrijf je hoeveel plaatsen de komma nog moet opschuiven.

Dat gaat zo:
 
voorbeeld 1.
Neem het getal 1320000
Je start met het getal 1,32  want dat zit tussen 1 en 10
Dat is 1,320000000.....
Om nu de komma op de goede plek te krijgen moet hij nog 6 plaatsen naar rechts schuiven
Dat is hetzelfde als zes keer met 10 vermenigvuldigen en daarom geef je dat aan door erachter te zetten  ×106
Dus:  1320000 = 1,32 × 106
       
voorbeeld 2.
Neem het getal 1203000000
Je start met het getal 1,203  want dat zit tussen 1 en 10
Dat is 1,20300000.....
Om nu de komma op de goede plek te krijgen moet hij nog 9 plaatsen naar rechts schuiven
Dat is hetzelfde als negen keer met 10 vermenigvuldigen en daarom geef je dat aan door erachter te zetten  ×109
Dus:  1203000000 = 1,203 × 109
       
voorbeeld 3.
Neem het getal 0,0057
Je start met het getal  5,7  want dat zit tussen 1 en 10
Dat is ....0000005,7
Om nu de komma op de goede plek te krijgen moet hij nog 3 plaatsen naar links schuiven
Dat is hetzelfde als drie keer door 10 delen en dat geef je dat aan met ene minteken, dus door erachter te zetten  ×10-3
Dus:  0,0057 = 5,7 × 10-3
       
´ 10positief  betekent  "komma naar rechts" dus het getal wordt groot.
´ 10negatief  betekent  "komma naar links" dus het getal wordt klein.
       
Het kan natuurlijk ook andersom.
 
voorbeeld 4
Als je het getal  5,43 × 103 hebt
dan staat daar eigenlijk:   "neem 5,43 en schuif de komma 3 plaatsen naar rechts"
Dat geeft 5430
Dus:  5,43 × 103  =  5430
       
voorbeeld 5.
Als je het getal  8,1 × 10-7 hebt
dan staat daar eigenlijk  "neem 8,1 en schuif de komma 7 plaatsen naar links"
Zet er alvast een rijtje nullen voor:   000000008,1
Nu de komma 7 plaatsen naar links geeft 0,00000081
Dus 8,1 × 10-7  = 0,00000081
       
Met de GR
 
Je GR kan ook getallen met de wetenschappelijk notatie geven.
Je kunt bijvoorbeeld  5,43 × 103  invoeren  als   5,43  × 10 ^ 3
Maar het kan ook in één keer met de knop EE   ("SHIFT"  en dan "komma")

Dus je kunt  5,43 × 103  ook invoeren  als   5,43 EE 3

Je kunt er zelfs voor zorgen dat jouw GR automatische alle grote en kleine getallen in de wetenschappelijk notatie geeft.
Dat doe je via MODE - SCI    (tweede regel)

Als je in deze stand bijvoorbeeld uitrekent  123456789 * 123456789  dan krijg je  als antwoord  1,52E16
Dat betekent dus 1,52 en dan de komma 16 plaatsen naar rechts schuiven
Dus  15200000000000000

       
 
 
OPGAVEN
       
1. a. rond   12,32556  af op 3 decimalen.
     
  b. rond   3,805649  af op 4 decimalen.
     
  c. rond   432,0068  af op 2 decimalen.
     
  d. rond   5,5555555  af op 5 decimalen.
       
  e. rond   0,032  af op 1 decimaal.  
     
  f. rond   99,9999 af op 3 decimalen.
       
2. a. Geef het getal  5602345  in tienduizenden nauwkeurig.
     
  b. Geef het getal  32549 in honderdtallen.
     
  c Geef het getal  80645336  in miljoenen nauwkeurig
     
  d. Geef het getal  33445566 in honderdduizenden nauwkeurig.
       
  e. Geef het getal  5348,666  in tientallen.  
     
  f. Geef het getal  2560000000 in miljarden nauwkeurig.
       
3. a. Een getal is afgerond op twee decimalen, en dat gaf  als resultaat  43,26.
Tussen welke grenzen heeft het oorspronkelijke getal gelegen?
       
  b. Een getal is afgerond op 3 decimalen en dat gaf als resultaat  4,320.
Tussen welke grenzen heeft het oorspronkelijke getal gelegen?
       
  c. Een getal is gegeven in duizenden, en dat gaf  34000.
    Tussen welke grenzen heeft het oorspronkelijke getal gelegen?
     
4. Schrijf de volgende getallen in de wetenschappelijke notatie.
     
  a. 340000000
     
  b. 0,000567
     
  c. 100,32
     
  d. 0,01010101
     
  e. 100004
     
5. a. Wat is groter:   5050  of  4555   ?
Hoeveel is het verschil ongeveer?
     
  b. Wat is kleiner:    0,0240  of  0,00325?
Hoeveel is het verschil ongeveer?
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)