© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Aftelbaarheid.
       
"Er zijn oneindig veel natuurlijke getallen"
"Er zijn oneindig veel breuken"
"Er zijn oneindig veel reëele getallen"

Tja, het begrip  "oneindig"  wordt hier gebruikt om het aantal elementen van een verzameling (in dit geval verschillende soorten getallen) weer te geven. Dat heet een "kardinaalgetal"
Het probleem met de getallen is natuurlijk dat we ze niet allemaal op kunnen schrijven, want het zijn er zo veel!
Toch is er een manier om aan te geven hoeveel er zijn. Beschouw het volgende "probleem":
       

Als je niet tot vijf zou kunnen tellen,
Hoe weet je dan dat je aan beide handen evenveel vingers hebt?
       
Je kunt niet de vingers aan de ene hand tellen en dan die aan de andere hand, en dan die getallen vergelijken, want je kunt nou eenmaal niet zo hoog tellen.
De oplossing is letterlijk kinderlijk eenvoudig, kijk maar naar het plaatje hiernaast.
Nee, het is niet "bidden om een oplossing"  maar leg gewoon de duim van de linkerhand tegen die van de rechter, doe hetzelfde voor de wijsvingers, de middelvingers enz. Je ziet zo dat bij elke vinger van de ene hand ook een vinger van de andere hand hoort, dus hebben beide handen evenveel vingers (alhoewel je nog steeds niet precies weet hóeveel).

Georg Cantor zag dat het probleem bij getallenverzamelingen in wezen hetzelfde is. Hij probeerde daarom niet een oneindige verzameling te tellen, maar probeerde voor oneindige verzamelingen een procedure te ontwerpen om getallen aan elkaar te koppelen. Op die manier kun je ontdekken of twee verzamelingen evenveel elementen hebben (nog steeds zonder precies te weten hóeveel).

       
Laten we eens twee oneindig grote verzamelingen bekijken. De eerste is de positieve natuurlijke getallen, de tweede de even getallen. Dus  {1, 2, 3, 4, 5, ...}  en  {2, 4, 6, 8, 10, ...}.
Deze twee series kunnen we makkelijk aan elkaar koppelen:
       

       
Conclusie:  er zijn even veel positieve getallen als even getallen; de twee verzamelingen zijn even groot; ze hebben hetzelfde kardinaalgetal.
Op dezelfde manier kunnen we de positieve getallen koppelen aan de kwadraten (n Û n2)  of aan de viervouden  (n Û 4n) of aan de getallen groter dan 83  (n Û 83 + n)  of aan de priemgetallen  (n Û nde priemgetal)  enz. Al deze verzameling zijn even groot.
 
Deze verzamelingen, die dus allemaal te koppelen zijn aan de positieve getallen, heten aftelbaar.
Cantor's grote vraag was:  "Hebben alle oneindige verzamelingen het zelfde kardinaalgetal"
Het antwoord is "NEE"

       
Hoe is het bijvoorbeeld met de breuken? Op de getallenlijn zitten de breuken oneindig dicht op elkaar, want tussen elke twee willekeurige breuken kun je een nieuwe vinden. Dat geeft ons misschien het gevoel dat er méér breuken dan gewone getallen zijn.  Maar dat blijkt niet zo te zijn. Ook de breuken zijn aftelbaar; ofwel te koppelen aan de positieve getallen.
Dat is te zien in de volgende tabel:
       

       
In deze tabel staan alle breuken (sommigen vaker, maar dat doet er niet toe). Als je de rode lijn volgt kom je op de weg naar boven (het dikke gedeelte) dus vanzelf alle breuken tegen, en heb je meteen een manier om ze op een rijtje te zetten. (we volgen heel slim diagonale lijnen, want horizontale of verticale zijn meteen al oneindig groot!)
Dat rijtje wordt dus:    1/1  ,  2/1  ,  1/2  ,  3/1  ,  2/2  ,  1/3  ,  4/1  ,  3/2  ,  2/3  ,  1/4  ,  ...
Op deze manier tellen we alle breuken! 
Het verband met de positieve getallen is nu het volgende (bewijs dat zelf maar):  
       
breuk  n/m    Û  getal  0,5•(n + m - 2)•(n + m - 1) + m
       
Zo is  5/16 de  206de breuk  en  219/118  de 56398ste breuk!  
De breukenverzameling is dus óók aftelbaar, dus er zijn evenveel breuken als positieve getallen.
Hier zijn nog twee leuke manieren om de breuken af te tellen:   De Stern-Brocot Boom en ontbinden.

Een mooi verhaal om dit duidelijk te maken gaat over HILBERT's HOTEL

Op naar de volgende verzameling: de reële getallen.
En daar loopt de zaak in de soep: die laten zich niet netjes op een rijtje zetten. Er is geen één-op-één verband te vinden tussen de positieve gehele getallen en de reële getallen. Om dat te bewijzen kwam Cantor met een heel nieuw soort bewijs" "Cantors Diagonalisatie Bewijs"

Het is een bewijs uit het ongerijmde en gaat als volgt:
Stel dat we een relatie hebben gevonden tussen de positieve gehele getallen en de reële getallen. Omdat alle reële getallen als (soms oneindig lange) decimale breuk geschreven kunnen worden,  hebben we dus een genummerde lijst die ALLE reële getallen bevat.
Die lijst zou er bijvoorbeeld zó uit kunnen zien:
       

       
Maar nu bewees Cantor dat er in ieder geval één reëel getal is, dat niet in deze lijst staat!
Kies nul voor de komma. Kies daarna het eerste cijfer achter de komma verschillen van het eerste cijfer in het eerste getal van de lijst. Kies het tweede cijfer verschillend van het tweede cijfer in het tweede getal in de lijst, enz. Dat ziet er zó uit:
       

       

Dit nieuwe getal staat niet in de lijst. Maar we hadden een volledige lijst. Dat is in tegenspraak met elkaar, dus is het onmogelijk een volledige lijst te maken! De reële getallen hebben een kardinaalgetal dat"groter is dan dat van de positieve getallen. De reële getallen zijn op de één of andere manier "oneindiger"

Hetzelfde zien we in de volgende paradox:
       
Een wiskundige is gek op getallen en houdt een groot boek bij: het "Grote Boek Der Verzamelingen". Misschien heeft het wel oneindig veel bladzijden.....

Op elke bladzijde heeft hij een beschrijving van een verzameling getallen gegeven. (met getallen bedoelen we alleen de positieve gehele getallen). Een verzameling die ergens in het boek staat beschreven heet een "BOEK-verzameling". 
Kun je een verzameling noemen die geen BOEK-verzameling is?

Neem een getal n, en kijk of getal n deel is van de verzameling op bladzijde n. Als dat zo is, dan noemen we n "gevonden", als dat niet zo is dan noemen we n "onvindbaar".  
De verzameling "onvindbare" getallen staat zeker niet in het boek!!!!! 
       
Terug...
We hebben dus al twee kardinaalgetallen (getallen die de grootte van een verzameling weergeven) die oneindig groot zijn. Zijn er misschien nog meer? Dat heeft Cantor onderzocht, en hij kwam tot de volgende stelling:
       

Bij elke willekeurige verzameling bestaat er minstens één "machtsverzameling"
die een groter kardinaalgetal heeft dan de verzameling zelf.
       

Deze stelling zegt dat je steeds grotere en grotere verzamelingen kunt construeren. Cantor introduceerde een speciale notatie voor kardinaalgetallen, met de Hebreeuwse letter aleph. De verzameling kardinaalgetallen zag er dan zó uit:

kardinaalgetallen = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... , aleph-0 , aleph-1 , ... }

Het kardinaalgetal van de natuurlijke getallen was aleph-0 (het kleinste getal oneindig) Maar het was de grote vraag of het kardinaalgetal van de Reële getallen gelijk was aan aleph-1. Cantor dacht dat dat wel zo was; dat was zijn beroemde continuüm hypothese. Hij kon hem echter nooit bewijzen.

In de dertiger jaren bewees Kurt Gödel dat niet bewezen kan worden dat de continuüm hypothese onwaar  is. Maar in 1960 bewees Paul Cohen dat de continuüm hypothese ook niet bewezen kan worden!
Een vreemd geval; ook nu nog hebben wij geen manier om te bepalen hoe oneindig de reële getallen nou precies zijn!!!

       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)