vergelijkingen met breuken

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Grafieken van gebroken functies.

Functievoorschriften met breuken geven ineens de mogelijkheid tot twee vreemde effecten, die we deze les gaan bestuderen, en die belangrijke gevolgen kunnen hebben voor de grafiek van zo'n gebroken functie.

Vreemd effect 1: Delen door nul.

"Delen door nul, dat mag niet", zul je waarschijnlijk denken, en in je achterhoofd echoot misschien nog wel een regeltje van vroeger als "delen door nul is flauwekul" of "wie deelt door is een lul" of zoiets.

Maar oké, laten we niet meteen al te overspannen reageren, en gewoon eens gaan kijken wat gebeurt als we het tóch doen!!

Bekijk bijvoorbeeld de formule y = ⁴/_{(x
- 2)} en ga eens kijken wat er gebeurt als je voor x het getal 2 neemt. Dan staat er natuurlijk y = ⁴/₀ en dat kan niet, dat weet ik heus ook wel........ En hoe vaak je ook ⁴/_{(2 - 2)} op je rekenmachine intikt, je krijgt echt elke keer ERROR.

Laten we het daarom wat subtieler aanpakken.

Als die x dan kennelijk geen 2 mag zijn, dan gaan we toch gewoon eens kijken wat er gebeurt als x bijna gelijk is aan 2?
Hier heb je een tabelletje met y-waarden:

x	1,9	1,95	1,99	1,999	1,9999	1,99999	.........
y	-40	-80	-400	-4000	-40000	-400000	.........

WAUW! Dat loopt nogal "uit de hand" kun je wel stellen. Die y wordt heel snel heel erg negatief!

Hiernaast zie je een schets.

De grafiek schiet omlaag en gaat steeds dichter langs de blauwe lijn x = 2 lopen. Hoe dichte x bij 2 komt, des te sneller schiet de grafiek omlaag.

We weten ook dal dat de grafiek die lijn x = 2 nooit kan passeren, immers dan zou y bestaan bij x = 2, dus zou ⁴/_{(2 - 2)} bestaan, en dat is niet zo, want je mag niet door nul delen.

Zo'n lijn waar de grafiek naar toe loopt en steeds dichter bijkomt, maar die hij nooit passeert noemen we een asymptoot van de grafiek.
In dit geval is de lijn x = 2 een verticale asymptoot van de grafiek.

Laten we ook nog even kijken wat er gebeurt als we x vanaf de "andere kant" naar 2 laten naderen, dus x = 2,000001 of zoiets. Dat geeft deze tabel:

x	2,1	2,05	2,01	2,001	2,0001	2,00001	.........
y	40	80	400	4000	40000	400000	.........

Grappig!
Daar gebeurt ongeveer hetzelfde, maar nu schiet de grafiek omhoog in plaats van omlaag!
Dat betekent dat de grafiek er bij x = 2 ongeveer zó zal uitzien:

Die linker en rechterkant zijn nog volledig onbekend (gaan we het zo meteen nog over hebben) , maar we weten al wel zeker dat de grafiek naar de blauwe stippellijn zal lopen zoals getekend.

NB. Hou het volgende goed in gedachten:

•

Die asymptoot hoort niet bij de grafiek zelf (ik heb hem expres in een andere kleur getekend), maar is een lijn waar de grafiek naar nadert.

•

We weten nog steeds niet precies HOE de grafiek naar zo'n lijn nadert. Alleen maar DAT hij ernaar nadert als je door nul zou delen. Dit zijn allemaal mogelijkheden:

•

Bij een verticale asymptoot gaat het erom dat er door nul wordt gedeeld. Om ze op te sporen hoef je dus alleen maar te kijken wanneer wat onder de breukstreep staat nul wordt,,. De rest van de formule doet er niet toe!!
Voorbeeld: y = 2 + 4x² - ⁶/_{(2x + 8)} heeft een verticale asymptoot als 2x + 8 = 0 dus als x = -4.

•

Bij een schets van de grafiek geef je een asymptoot aan met een pijltje.

Vreemd effect 2: Delen door een oneindig groot getal.

Goed, goed, ik weet het ook wel: oneindig grote getallen bestaan niet.
Maar laten we gewoon net als hierboven gaan kijken wat er gebeurt als x bijna gelijk wordt aan een oneindig groot getal.......Gewoon heel groot. Of héééééééééééééééééééél groot!!!
Neem weer de formule y = ⁴/_{(x - 2)}
Tabelletje maar weer?????

x	10	100	1000	10000	100000	.........
y	0,5	0,04..	0,004..	0,0004..	0,00004..	.........

Je ziet dat de grafiek steeds dichter bij nul komt.

Heb je door dat we dat grijze wolkje aan de rechterkant van de grafiek hierboven aan het onderzoeken zijn?
Immers als x steeds groter wordt, dan kijk je in de grafiek steeds verder naar rechts.

Hiernaast zijn beide wolkjes weggehaald (ga zelf maar na dat voor x een heel groot negatief getal y vanaf de negatieve kant naar nul nadert, dus -0,00000... wordt)

Zo'n horizontale lijn waar de grafiek steeds dichter naar nadert heet (dat zal je niet verrassen) een horizontale asymptoot.
In dit geval is het de x-as.

NB. Hou het volgende goed in gedachten:

•

Je kunt natuurlijk net zo goed meteen een heeeeeeel groot getal voor x invullen in plaats van steeds zo'n tabelletje te maken.

•

Er komt niet altijd nul uit.
Onderzoek maar eens de horizontale asymptoot van de grafiek van y = 2 + ⁴/_{(x + 1)}

Het antwoord staat hiernaast.

y = 2

•

In vraagstukken (vooral wiskunde A) kun je opgaven waar het gaat om de horizontale asymptoot meestal herkennen doordat er wordt gevraagd "Wat gebeurt er uiteindelijk met .....?"
De x is dan meestal de tijd, en tja, als je wilt weten wat er uiteindelijk ergens mee gebeurt dan moet je voor de tijd natuurlijk een heeeeeeeeeeel groot getal nemen! Een horizontale asymptoot dus!!