Nieuwe pagina 1

Voor het bewijs moeten we eerst wat eigenschappen van de geconjugeerde z^* van een complex getal z bekijken.
Als z gelijk is aan a + bi dan is de geconjugeerde z^* gelijk aan a - bi.
Dat heeft de volgende stellingen tot gevolg:

Stelling 1.
"De geconjugeerde van (v + w) is gelijk aan de geconjugeerde van v plus de geconjugeerde van w"
in symbolen: (v + w)^* = v^* + w^*

Bewijs:
Stel v = a + bi en w = c + di
Dan is v + w = (a + c) + (b + d)i dus de geconjugeerde ervan is (a + c) - (b + d)i
v^* = a - bi en w^* = c - di dus v^* + w^* = a - bi + c - di = (a + c) - (b+ d)i
Dat is inderdaad aan elkaar gelijk.

Gevolg 1:
Als a een reëel getal is, dan is (az)^* = a • z^*, immers (az) = (z + z + z + ...)^* = z^* + z^* + z^* + ... = a • z^*

Stelling 2.
"De geconjugeerde van (v • w) is gelijk aan de geconjugeerde van v maal de geconjugeerde van w"
in symbolen: (v • w)^* = v^* • w^*

Bewijs:
Stel v = a + bi en w = c + di
Dan is v • w = (ac - bd) + (ad + bc)i dus de geconjugeerde ervan is (ac - bd) - (ad + bc)i
v^* = a - bi en w^* = c - di dus v^* • w^* = ac - adi + bd - bci = (ac + bd) - (ad + bc)i
Dat is inderdaad aan elkaar gelijk.

Gevolg 2:
Als n een geheel getal is, dan is (zⁿ)^* = (z^*)ⁿ immers (zⁿ)^* = (z • z • z • ...)^* = z^* • z^* • z^* • ... = (z^*)ⁿ

Stel nu dat z een complex getal is waarvoor geldt dat: a₀zⁿ + a₁z^n-1+ a₂z^n-² + ... + a_n-1z + a_n= 0
Dan geldt:
a₀(z^*)ⁿ + a₁(z^*)^n-1+ a₂(z^*)^n-² + ... + a_n-1z^* + a_n= (volgens gevolg 2) = a₀(zⁿ)^* + a₁(z^n-¹)^*+ a₂(z^n-²)^* + ... + a_n-1z^* + a_n= (volgens gevolg 1) = (a₀zⁿ)^* + (a₁z^n-¹)^*+ (a₂z^n-²)^* + ... + (a_n-1z)^* + a_n^* (a_nisreëel dus a_n^* = a_n)
= (volgens stelling 1)= (a₀zⁿ + a₁z^n-¹+ a₂z^n-² + ... + a_n-1z + a_n)^*
= (volgens de aanname dat z een oplossing is) = 0^* = 0
Dus is ook z^* een oplossing van de vergelijking.
q.e.d.