het bewijs van Euclides.
   
1. De lijn is een raaklijn.

Kies een willekeurig punt R op de cirkel en teken de diameter RP.
Teken een lijn loodrecht op PR door R.

Stel dat deze lijn voor een deel binnen de cirkel ligt.....
   Dan is er een tweede punt S waar deze lijn de cirkel weer verlaat.
   MR = MS (straal van de cirkel)
   Daaruit volgt  ∠MRS = ∠MSR  (propositie I.5)
   Dan heeft driehoek MSR twee rechte hoeken.
   Maar dat kan niet (propositie I.17)
Dus de lijn valt geheel buiten de cirkel.
Dus heeft die lijn precies één punt gemeen met de cirkel
Dus het is de raaklijn.

   
2.  Er is niet nóg zo'n lijn.

Euclides formuleerde dat zó:  "In de ruimte tussen deze lijn en de cirkel kan niet nóg een rechte lijn worden getekend"

Stel dat TR in de ruimte tussen de raaklijn en de cirkel ligt.
Teken MK loodrecht op TR  (propositie I.12).

∠RKM = 90º
∠MRK < 90º
Daaruit volgt dat  MR > MK  (propositie I.17 en I.19)
Dus is MK kleiner dan de straal van de cirkel.
Dus ligt K binnen de cirkel.

   
Conclusie:  de lijn door R loodrecht op MR is de enige lijn die precies één punt met de cirkel gemeen heeft.
Ofwel:

raaklijn aan cirkel  ⇔  loodrecht op de straal
   
Let op het feit dat de pijl beide kanten op geldt....