Het bewijs van de productregel.
We beginnen met de definitie van de afgeleide (die van dat "punt vlak ernaast", weet je nog?):
Bedenk daarbij steeds dat dx zo klein mogelijk moet zijn (het liefst nul, maar dat kan nog niet omdat er dan delen door nul staat) met f • g in plaats van f geeft dat:
Laten we een grapje uithalen:  we voegen bij in de teller   -f(x + dx) • g(x) +  f(x + dx) • g(x)  toe. Dat is samen toch nul.
Dat lijkt ter voorlopig niet makkelijker op te worden. Maar we kunnen deze superbreuk nu in tweeën splitsen:  neem van de teller de eerste twee en de laatste twee termen samen. Daar kun je f(x + dx)  en g(x)  buiten haakjes halen:
Dat is eenvoudig te herschrijven tot:
Nou, als je je bedenkt dat dx het liefst nul is, dan is f (x + dx) = f(x)  en dan staat daar  (f • g)'  = f • g'  + g • f ' En laat dat nou precies de productregel zijn.......