| De oppervlakte van een bol. | ||
| Archimedes bewees dat de
oppervlakte van een bol gelijk is aan die van de cilindermantel van de
cilinder die er precies omheen past (zie hiernaast). Hoe deed hij dat? Kies een willekeurig horizontaal strookje oppervlakte van de cilinder en op overeenkomstige hoogte het strookje oppervlakte van de bol dat daarbij hoort. Als we nu kunnen bewijzen dat deze twee strookjes altijd dezelfde oppervlakte hebben, dan hebben de bol en de cilinder σσk dezelfde oppervlakte. |
|
|
| Als de bol straal R heeft, dan
heeft de cilinder dat ook. Neem het strookje met dikte dh,
en stel dat de straal van het cirkelstrookje gelijk is aan r. Hiernaast is de raaklijn (blauw) in A aan de bol getekend. Die staat loodrecht op MA. Als dh maar klein genoeg wordt gekozen dan is deze raaklijn ongeveer gelijk aan de lijn AB. De driehoeken BAC en AMD zijn gelijkvormig (bewijs dat zelf maar!) Dan geldt: AD/MA = BC/AB ofwel r/R = dh/AB |
|
|
| Daaruit volgt r AB = R dh vermenigvuldig beiden met 2π: 2πr AB = 2πR dh |
||
Maar 2πr AB is de oppervlakte van het (ongeveer) rechthoekige cirkelstrookje, en 2πR dh is de oppervlakte van het cilinderstrookje. Conclusie: |
||
|
||
| Maar dan is de totale oppervlakte
van de bol ook gelijk aan de totale oppervlakte van de cilinder.
Q.E.D. |
||
