| σ =√(np(1-p)) | |||||||||
| Om deze formule te bewijzen
bekijken we eerst het geval voor n = 1. Stel dat de kans op succes gelijk is aan p. Als n = 1 dan zijn er twee mogelijkheden: 0 successen of 1 succes, met kansen respectievelijk p en 1 - p. Dat geeft de volgende kansverdeling: |
|||||||||
|
|||||||||
| Het gemiddelde
μ kunnen we nu direct berekenen:
μ
= 0 • (1 - p ) + 1 • p = p. Om de standaarddeviatie te berekenen breiden we bovenstaande tabel uit met een kolom waar de afwijking tov dit gemiddelde (x - μ) in staat, en een kolom met deze afwijking in het kwadraat. |
|||||||||
|
|||||||||
| Voor de standaardafwijking moeten we nu het gemiddelde van de laatste kolom nemen, dus kans × (x - μ)2 en dan delen door het totaal aantal (maar dat is uiteraard 1) en dan daar weer de wortel van nemen: | |||||||||
| σ = √((1 - p) p2 + p(1- p)2) = √((1- p)(p2 + p(1 - p)) = √((1 - p)(p2 + p - p2)) = √(p(1 - p)) | |||||||||
| Om de standaardafwijking van n experimenten bij elkaar opgeteld te vinden moeten we de standaardafwijking van één experiment vermenigvuldigen met √n: | |||||||||
| σ =
√(p(1 - p))
√n
= √(np(1-p)) en dat is de gezochte formule..... |
|||||||||