© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stelling van Carnot.
     
Deze stelling luidt als volgt:
     

Als je van een driehoek de drie afstanden van het middelpunt van de omgeschreven cirkel  tot de zijden bij elkaar optelt,
dan is dat gelijk aan de straal van de ingeschreven cirkel plus de straal van de omgeschreven cirkel.

     
Plaatje d'r bij:

     
De drie paarse lijntjes zijn samen gelijk aan de twee groenen
     
Bewijs.
     
Noem de punten zoals hiernaast en teken ook de drie hoogtelijnen van de driehoek. Noem de straal van de ingeschreven cirkel r en die van de omgeschreven cirkel R.

Bekijk de drie driehoeken die ontstaan door Mo met de hoekpunten te verbinden:
BMoC  heeft oppervlakte 0,5 • BC • MoD
BMoA heeft oppervlakte 0,5 • AB • MoF
AMoC heeft oppervlakte 0,5 • AC • MoE

Samen geeft dat de oppervlakte van de hele driehoek:
oppABC
= 0,5 • BC • MoD + 0,5 • AB • MoF + 0,5 • AC • MoE

Maar ook de lijnen van Mi naar de hoekpunten verdelen de driehoek in drieλn:
BMiC heeft oppervlakte 0,5 • BC • r
BMiA heeft oppervlakte 0,5 • AB • r
AMiC heeft oppervlakte 0,5 • AC • r

Samen geeft dat weer de oppervlakte van de hele driehoek:
oppABC
=   0,5 • BC • r +  0,5 • AB • r + 0,5 • AC • r
     
Je raadt het vast al wel:  die twee oppervlakten van ABC zijn uiteraard gelijk aan elkaar.
Dat geeft  BC • MoD + AB • MoF + AC • MoE =  BC • r +  AB • r + AC • r      .....(1)

∠BMcC = 2 • ∠BAD   (Omtrekshoek en middelpuntshoek van de omgeschreven cirkel).
Dus is  ∠DMoC = ∠BAC
Dus de driehoeken ABHb en  ACHc en  CMoD zijn gelijkvormig (een rechte hoek en ∠BAC)
Dus dan zijn de volgende drie verhoudingen gelijk  (bedenk dat MoC = R):

Dus  MoD(AC + AB) = R(AHb + AHc)
Op dezelfde manier (vanuit de andere hoekpunten geredeneerd) volgt:
MoE(BC + AB) = R(BHa + BHc)
MoF(BC + AC) = R(CHa + CHb)

Tel deze laatste drie vergelijkingen bij elkaar op:
MoD(AC + AB) + MoE(BC + AB) + MoF(BC + AC) = R(AHb + AHc + BHa + BHc + CHa + CHb)
MoD(AC + AB) + MoE(BC + AB) + MoF(BC + AC) = R(AB + BC + AC)

tel nu deze vergelijking bij (1) op:
MoD(AC + AB) + MoE(BC + AB) + MoF(BC + AC) + BC • MoD + AB • MoF + AC • MoE = R(AB + BC + AC) +  BC • r +  AB • r + AC • r
hergroeperen:
MoD(AC + AB + BC) + MoE(BC + AB + AC) + MoF(AC + AB + BC) = R(AB + BC + AC) + r(AB + BC + AC)
nu valt (AB + BC + AC) weg en er blijft over:

MoD + MoE + MoF = r + R

q.e.d.
     
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)