constructiebewijzen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Constructiebewijzen.

Een constructiebewijs klinkt als volgt:

" Er bestaan gele kikkers. Kijk maar: hier heb ik er eentje!"

" Erwtensoep bestaat want hier heb ik er een recept van."

Om te bewijzen dat iets bestaat laat je er gewoon een voorbeeld (of een tegenvoorbeeld als je het omgekeerde wilt bewijzen) van zien of je beschrijft een manier om het te fabriceren.
Van beiden maar een voorbeeld.

voorbeeld 1. Toon aan dat er gehele getallen zijn waarvoor aⁿ + bⁿ + cⁿ = dⁿ voor n > 2
bewijs:

2682440⁴ + 1536539⁴ + 187960⁴ = 20615673⁴

q.e.d.

voorbeeld 2. Toon aan dat er oneindig veel priemgetallen bestaan. Een erg beroemd bewijs van niemand minder dan Euclides (Boek IX, propositie 20 van De Elementen) en het gaat zó:

Maak een volledige lijst van alle priemgetallen die je hebt.

Maak nu een nieuw getal door al deze priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen en daarna 1 bij het resultaat op te tellen.

Dit nieuwe getal is in ieder geval niet deelbaar door één van onze priemgetallen (vanwege die +1)
Er zijn 2 mogelijkheden:

Dit nieuwe getal is een priemgetal. Dan hebben we dus een groter priemgetal gevonden. Klaar!

Het nieuwe getal is geen priemgetal.
Dan gaan we het getal ontbinden in factoren. Eén van die factoren zal een nieuw priemgetal moeten zijn, immers het getal is niet deelbaar door de priemgetallen die we al hadden.
Dus alweer hebben we een nieuw priemgetal gevonden.

In beide gevallen was onze lijst niet compleet want we hebben een nieuw priemgetal gevonden. Maar het zelfde geldt voor onze "nieuwe" lijst. Met dit recept hier is er steeds weer een nieuw priemgetal te vinden.
Kortom: een complete lijst bestaat niet, er zijn er oneindig veel.

q.e.d.

(ik hoop dat je ziet dat er hier behalve constructie ook "het ongerijmde" wordt gebruikt: "stel dat er een eindig aantal is...")

Overigens publiceerde Filip Saidak, een Slowaaks wiskundige, in de American Mathematical Monthly van december 2006 het volgende bewijs dat hier wel wat van weg heeft. Alweer een constructiebewijs. Zijn bewijs liep ongeveer zó:

Begin met een getal n₁ > 1
De getallen n₁ en n₁ + 1 verschillen slechts één, dus hebben geen gemeenschappelijke deler.
Dat betekent dat n₂ = n₁(n₁ + 1) minstens twee verschillende priemfactoren heeft.
De getallen n₂ en n₂ + 1 verschillen slechts één, dus hebben geen gemeenschappelijke deler.
Dat betekent dat n₃ = n₂(n₂ + 1) minstens drie verschillende priemfactoren heeft.
De getallen n₃ en ........
enz.


OPGAVEN

1.	Stelling: `Er bestaan oneindig veel Pythagoreìsche drietallen` (een Pythagoreïsch drietal zijn drie verschillende getallen waarvoor geldt a² + b² = c² )

	a.	Toon aan dat de getallen pq, ½(p² + q²) en ½(p² - q²) voor elke p en q een Pythagoreïsch drietal vormen.

	b.	Kies q = 1 en leg uit waarom je oneindig veel verschillende drietallen kunt vinden.

	c.	Leg uit hoe je aan b en c kunt zien dat de drietallen zelfs fundamenteel verschillend zijn (dat wil zeggen niet tot elkaar te vereenvoudigen door alle getallen door dezelfde factor te delen).

2.	a.	Toon aan dat a³ + b³ voor geen enkele gehele a, b > 0 een priemgetal is. Doe dat door een factor te vinden waar a³ + b³ door gedeeld kan worden.

	b.	Leg uit waarom 1000000000001 geen priemgetal is.

3.	De gaten tussen de opeenvolgende priemgetallen worden oneindig groot. Dat gaan we aantonen door zo'n gat te maken.
	Toon aan dat er vanaf het getal n! een gat van minstens grootte n komt.