© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Vectorruimten
       
We hebben al tweedimensionale vectoren gezien (met twee kentallen; pijlen in het platte vlak) en driedimensionale (met drie kentallen; pijlen in de ruimte).
Daar hebben we allerlei eigenschappen al van bekeken, en dat was best leuk, geef maar toe.....

Maar alhoewel ons voorstellingsvermogen daarmee ophoudt, stopt de wiskunde nog lang niet!
Wat houdt ons tegen om vectoren met 4 kentallen of 5  of 6  of noem maar op te bekijken? Waarom zouden we daar geen berekeningen aan kunnen maken?
Sterker nog:  de komende lessen zullen we ontdekken dat er nog veel meer verzamelingen van "dingen" zijn die dezelfde "structuur" en  "eigenschappen" hebben die onze vectoren hebben. Die verzamelingen noemen we "vectorruimten".  Het hoeven dus niet meer echt vectoren te zijn zoals we die tot nu toe kenden. Sterker nog: onze vectoren waren er achteraf gezien gewoon voorbeelden van.

Wanneer mogen "dingen" zich een vectorruimte noemen?

Nou, dat valt heel erg mee, de ballotagecommissie is niet echt streng. Er zijn maar 8 voorwaarden voor lidmaatschap.

Je moet de dingen bij elkaar op kunnen tellen en je moet ze met een getal kunnen vermenigvuldigen (dat noemen we een scalaire vermenigvuldiging). We noemen de "dingen"  even u en v en w en een willekeurig getal noemen we a en b. Dan moeten  voor deze twee bewerkingen de volgende 8 eigenschappen gelden.
       
voor de optelling moet gelden:
1. u + v = v + u   
2. u + (v + w) = (u + v) + w  
3. er bestaat een "ding" 0  zodat voor elke u geldt  u + 0 = u  
4. voor elke u bestaat er een tegengestelde -u zodat  u + (-u) = 0  
voor de vermenigvuldiging moet gelden:
5. a • (b • u) = (a • b) • u  
6. 1 • u = u  
samen moeten de volgende twee eigenschappen nog gelden:
7. a • (u + v) = a • u + a • v  
8. (a + b) • u = a • u + b • u  
       
Nou, dat is alles.
Als je aan deze 8 eigenschappen voldoet dan mag je jezelf een vectorruimte noemen!

Daarmee zijn inderdaad alle vectoren zoals we ze al kenden (met zoveel kentallen als je maar wilt) vectorruimten. Ga dat vooral zelf na!

Maar er zijn nog veel meer verzamelingen die vectorruimten zijn.
Hier zijn  een paar beroemden  die we ook eigenlijk al kennen:
       
• De coördinaten van punten in het platte vlak.
• De polynomen met graad hoogstens n.
• Matrices met vaste afmetingen.
• Functies met het zelfde domein en het zelfde bereik.
       
Verfijning.

Eigenlijk moet je bij een vectorruimte ook aangeven welke getallen  (scalairen) je mag gebruiken om mee te vermenigvuldigen. In het bovenstaande gingen we er van uit dat dat gewoon "alle normale getallen" zijn (dat wil zeggen de verzameling R van de reële getallen). Maar we zouden net zo goed een vectorruimte kunnen definiëren met als getallen alleen de breuken  (Q). In zo'n geval spreken we van een "vectorruimte V over Q".  Dat zou betekenen dat die a's en b's alleen getallen uit Q mogen zijn.
Of uitgebreider zouden we kunnen spreken over een vectorruimte V over C (de complexe getallen)
Sterker nog:  Je zou de verzameling van de complexe getallen zelf kunnen beschrijven als een "vectorruimte  C over R" met de vectoren 1 en i en alle combinaties daarvan.
       
       
   OPGAVEN
       
1. Geef van de vier voorbeelden hierboven aan wat het nulelement is, en toon aan dat eigenschap 7 geldt.
       
2. Neem de verzameling punten (x, y) uit het platte vlak, met de bewerking "optellen" zoals gebruikelijk maar met als scalaire vermenigvuldiging  c • (x, y) = (cx, 0)
Dan is die verzameling geen vectorruimte.
Toon dat aan, en laat zien aan welk van de 8 eigenschappen niet  is voldaan.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)