|
|||||
| Een familie krommen veranderen in een differentiaalvergelijking. | |||||
| Tot nu toe hadden we
steeds als probleem één of andere differentiaalvergelijking en gingen we
op zoek naar oplossingskrommen. In deze les bekijken we het eens van de andere kant: Stel dat we een serie krommen hebben, kunnen we daar dan een passende differentiaalvergelijking bij vinden waarvan zij de oplossing zijn? Ik denk het wel.... Sterker nog: het is zelfs vrij eenvoudig. Gewoon het volgende recept volgen: |
|||||
|
|
|||||
| Voorbeeld
1. Stel een differentiaalvergelijking op van de
familie van krommen y = C1ex +
C2e2x basisvergelijking: C1ex + C2e2x - y = 0 ....(1) afgeleide: C1ex + 2C2e2x - y' = 0 .....(2) tweede afgeleide: C1ex + 4C2e2x - y'' = 0 ......(3) (2) - (1) geeft C2e2x - y' + y = 0 ......(4) (3) - (1) geeft 3C2e2x - y'' + y = 0 ......(5) driemaal (4) - (5) geeft y'' - 3y' + 2y = 0 en daar is de differentiaalvergelijking al! |
|||||
| Voorbeeld
2. Geef een differentiaalvergelijking die hoort
bij alle cirkels met middelpunt op de x-as. die cirkels zien eruit als (x - C1)2 + y2 = C22 (het middelpunt is (C1, 0) en de straal is C2). basisvergelijking: (x - C1)2 + y2 - C22 = 0 .....(1) afgeleide: 2(x - C1) + 2y • y' = 0 ......(2) tweede afgeleide: 2 + 2y' + 2y' • y'' = 0 .......(3) Nou dat elimineren hoeft al niet meer: in die laatste zijn de C's al verdwenen. Je zou hem voor de mooi-igheid nog door 2 kunnen delen: y' • y'' + y' + 1 = 0 |
|||||
| OPGAVEN | |||||
| 1. | Stel een differentiaalvergelijking op die hoort bij alle cirkels met middelpunt op de y-as. | ||||
| 2. | Bij de familie krommen y = asinx + bcosx hoort de differentiaalvergelijking y'' + y = 0 | ||||
| Toon dat aan door de differentiaalvergelijking af te leiden uit de familie van krommen. | |||||
| 3. | Stel een differentiaalvergelijking op bij de krommen y = a/x + bx | ||||
| 4. | Geef een differentiaalvergelijking die bij de volgende families van krommen hoort: | ||||
| a. | y = Ae2x + Bex + C | ||||
| b. | y = Ax3 + Bx + C | ||||
| c. | y = A√x + Bx | ||||
| 5. | Gegeven is de krommenbundel y = 2 + (2c - 2)x - c2 | ||||
| a. | Bepaal de differentiaalvergelijking die bij deze krommenbundel hoort. | ||||
| b. | Voor welke p is y = x2 - 2x + p een oplossing van de in a) verkregen differentiaalvergelijking? | ||||
|
|||||
| c. | Wat is het meetkundige verband tussen de gegeven krommenbundel en het antwoord op vraag b)? | ||||
| 6. | Geef de differentiaalvergelijking die hoort bij de bundel parabolen met de y-as als symmetrie-as. | ||||
 |
|||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
