|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Differentievergelijkingen en Matrixvermenigvuldigingen. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Er is een hele
eenvoudige manier om een differentievergelijking om te zetten naar een
matrixvermenigvuldiging. Dat is het makkelijkst uit te leggen met een voorbeeld. Neem de (derde orde) differentievergelijking: xn = 2xn - 1 + 3xn - 2 - xn - 3 met x0 = 1 en x1 = x2 = 1 Dan kun je daar supermakkelijk het volgende stelsel vergelijkingen van maken: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
't Is zo simpel dat het bijna voelt als oplichterij, vind je niet? En toch heb je hier wel wat aan: je kunt nu deze drie vergelijkingen schrijven als een matrixvermenigvuldiging: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Noem die matrix M,
dan zie je dat je door met M te vermenigvuldigen alle indices van de
vector eentje hoger maakt. Wil je bijvoorbeeld x15 berekenen, dan vermenigvuldig je gewoon met M13 want dan wordt de beginvector (x0, x1, x2) gelijk aan (x13, x14, x15): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Die vermenigvuldiging
heb ik natuurlijk met mijn GR gedaan, dat snap je wel. Het levert meteen
op dat x15 = 57117 En op deze manier levert een nde orde differentievergelijking een matrixvermenigvuldiging met een n × n matrix op. Nou zul je vast opmerkingen dat je dan net zo goed die differentievergelijking in je GR kunt invoeren (mode SEQ), en op die manier x15 laten berekenen. En dat is ook zo. Alleen; soms kunnen we machtsverheffen met matrices sneller doen, als we zo'n matrix kunnen diagonaliseren. Dat staat in deze les. Het kan dan zelfs een directe formule opleveren. Dat gaat zó: Voorbeeld. Gegeven is de differentievergelijking xn = -2xn - 1 + 15xn - 2 met x1 = x2 = 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ga dat vooral zelf na..... | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Kortom: xn = 0,75 • 3n + 0,05 • (-5)n is een directe formule. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
