© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Draaien over 90º.
       
Eigenlijk hebben we draaien over 90º al lang besproken in deze les over normaalvectoren. Een normaalvector ontstond immers uit een andere vector door die over 90º te draaien?

Uit die les komt het plaatje hiernaast waarin je kunt zien dat  de blauwe vector ontstaat door de rode over 90º  te draaien. De beide driehoekjes zijn congruent, want de gele hoek is gelijk aan de paarse (beiden met de groene samen 90º)

Deze les zullen we dat draaien iets nauwkeuriger bekijken door naast het "draaien over 90º" een extra vraag te stellen:

       

welke kant op?
       
Er zijn natuurlijk twee manieren om over 90º te draaien, namelijk:  "met de klok mee"  of  "tegen de klok in". En dat maakt voor de kentallen van de vector die je krijgt wel degelijk uit, zoals je in onderstaande twee plaatjes kunt zien :
       

       
Deze plaatjes leiden tot de volgende conclusie:
       

       
Voorbeeldje van een toepassing: De stelling van Van Aubel.
     
Op de zijden van vierhoek ABCD worden vier vierkanten geplaatst.
De middens van die vierkanten zijn  P, Q, R en S.
Toon aan dat PR = QS en PR ⊥ QS.

Zie de figuur.

 

 

Bewijs:
Leg vierhoek ABCD in een assenstelsel met A als oorsprong en AB langs de x-as.
Dat geeft de coördinaten  A(0,0),  B(p, 0), C(q, r) en D(s, t)

Noem M het midden van AD, en bereken de kentallen van vector AS:
 

Je ziet dat die vector MS is gevonden door AM over 90º tegen de klok in te draaien.
Bereken de kentallen van AQ op dezelfde manier (ik heb het midden van CB voor het gemak weer M genoemd)

Dus nu is vector SQ bekend:

       
Op dezelfde manier gaan we PR berekenen (midden noem ik steeds M).

       
Vergelijk de vectoren PR en QS met elkaar en je ziet dat de kentallen inderdaad uit elkaar volgen door ze te verwisselen en één van beiden negatief te maken.
Daaruit volgt direct de stelling.
       
       
  OPGAVEN
       
1. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2018-I.

Gegeven zijn de punten A(1, 0) en B(0,1). Punt C bevindt zich op de kwartcirkel door A en B met middelpunt O(0, 0) Op de lijnstukken AC en BC worden twee vierkanten ADEC en BCFG getekend. Zie de volgende figuur.
       
 

       
  De grootte van hoek AOC (in radialen) noemen we t, met  0  ≤  t  ≤  1/2π.
Punt C heeft dus coördinaten (cos(t), sin(t)) .

Er is een waarde van t waarvoor de oppervlakte van vierkant ADEC twee keer zo groot is als de oppervlakte van vierkant BCFG.
       
  a. Bereken deze waarde van t. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.
       
  In de onderstaande figuur is de situatie van de vorige figuur uitgebreid met vector OF.
       
 

       
  b. Druk de kentallen van vector OF uit in t.  
       
2. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2016-I.
       
 

Gegeven is de cirkel met vergelijking (x − 1)2 + y2 =1. Voor elke waarde van a is gegeven de lijn met vergelijking y = ax . Elk van deze lijnen snijdt de cirkel in twee punten, namelijk in O en S. De coördinaten van S zijn afhankelijk van a.

De vector SP is het beeld van SO bij een rotatie om S over 90° . Zie de figuur hiernaast, waarin ook driehoek OPS is weergegeven.

Voor de coördinaten van P geldt:
     
 

     
  a. Bewijs dat deze formules voor xP en yP correct zijn. 
       
  Er is een waarde van a waarvoor xP maximaal is.
       
  b. Bereken exact deze waarde van a.
       
3. ABCD is een vierkant met  A(0, a) en B (b, 0)PQRS is een even groot vierkant.
P is het midden van ABCD en C is het midden van PQRS.

M is het midden van DS.
Zie de figuur hiernaast.

Druk de coördinaten van M uit in a en b.
       
4. Vierhoek OABCis een vlieger waarvan de hoeken A en C rechte hoeken zijn.
De zijden AB en BC zijn de helft van de zijden OA en OC.

A is het punt  (a, b)

S is het snijpunt van de diagonalen van de vlieger.

Druk de coördinaten van S uit in a en b.

       
     
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)