eigenschappen determinant

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Eigenschappen van de determinant.

In deze les bekijken we een aantal eigenschappen van de determinant van een matrix, die we later veel zullen gebruiken.
Voor veel bewijzen is het handig om de determinant van een matrix helemaal uit te schrijven.
Dat doen we daarom eerst.

Eerst maar een paar vingeroefeningen:

2 × 2:

3 × 3:

= a₁₁a₂₂a₃₃ - a₁₁a₃₂a₂₃- a₂₁a₁₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃+ a₃₁a₁₂a₂₃- a₃₁a₂₂a₁₃

4 × 4:

...

a₁₁a₂₂(a₃₃a₄₄-a₄₃a₃₄) - a₁₁a₃₂(a₂₃a₄₄-a₄₃a₂₄) + a₁₁a₄₂(a₂₃a₃₄-a₃₃a₂₄)
- a₂₁a₁₂(a₃₃a₄₄-a₄₃a₃₄) + a₂₁a₃₂(a₁₃a₄₄-a₄₃a₁₄) - a₂₁a₄₂(a₁₃a₃₄-a₃₃a₁₄)
+ a₃₁a₁₂(a₂₃a₄₄-a₄₃a₂₄) - a₃₁a₂₂(a₁₃a₄₄-a₄₃a₁₄) + a₃₁a₄₂(a₁₃a₂₄-a₂₃a₁₄)
- a₄₁a₁₂(a₂₃a₃₄-a₃₃a₂₄)+ a₄₁a₂₂(a₁₃a₃₄-a₃₃a₁₄) - a₄₁a₃₂(a₁₃a₂₄-a₂₃a₁₄)
=

a₁₁a₂₂a₃₃a₄₄- a₁₁a₂₂a₄₃a₃₄ - a₁₁a₃₂a₂₃a₄₄+ a₁₁a₃₂a₄₃a₂₄ + a₁₁a₄₂a₂₃a₃₄- a₁₁a₄₂a₃₃a₂₄
- a₂₁a₁₂a₃₃a₄₄+ a₂₁a₁₂a₄₃a₃₄ + a₂₁a₃₂a₁₃a₄₄- a₂₁a₃₂a₄₃a₁₄ - a₂₁a₄₂a₁₃a₃₄+ a₂₁a₄₂a₃₃a₁₄
+ a₃₁a₁₂a₂₃a₄₄- a₃₁a₁₂a₄₃a₂₄ - a₃₁a₂₂a₁₃a₄₄+ a₃₁a₂₂a₄₃a₁₄ + a₃₁a₄₂a₁₃a₂₄- a₃₁a₄₂a₂₃a₁₄
- a₄₁a₁₂a₂₃a₃₄+ a₄₁a₁₂a₃₃a₂₄+ a₄₁a₂₂a₁₃a₃₄- a₄₁a₂₂a₃₃a₁₄ - a₄₁a₃₂a₁₃a₂₄+ a₄₁a₃₂a₂₃a₁₄

wauw! dat loopt aardig uit de hand. Ik denk niet dat ik aan 5×5 ga beginnen....

Wat valt op?
Het lijkt allemaal nogal een chaos, maar laten we een beetje orde gaan aanbrengen. Ik zet de positieve termen voorop en de negatieve achteraan, en verder ga ik de elementen per term ordenen op het rijnummer.
Dat geeft voor de 4×4 situatie:

a₁₁a₂₂a₃₃a₄₄+ a₁₁a₂₄a₃₂a₄₃ + a₁₁a₂₃a₃₄a₄₂+ a₁₂a₂₁a₃₄a₄₃ + a₁₃a₂₁a₃₂a₄₄+ a₁₄a₂₁a₃₃a₄₂ + a₁₂a₂₃a₃₁a₄₄+ a₁₄a₂₂a₃₁a₄₃ + a₁₃a₂₄a₃₁a₄₂+ a₁₂a₂₄a₃₃a₄₁+ a₁₃a₂₂a₃₄a₄₁+ a₁₄a₂₃a₃₂a₄₁- a₁₁a₂₂a₃₄a₄₃ - a₁₁a₂₃a₃₂a₄₄- a₁₁a₂₄a₃₃a₄₂ - a₁₂a₂₁a₃₃a₄₄- a₁₂a₂₄a₃₁a₄₃ - a₁₃a₂₂a₃₁a₄₄- a₁₄a₂₃a₃₁a₄₂
- a₁₂a₂₃a₃₄a₄₁- a₁₄a₂₂a₃₃a₄₁ - a₁₃a₂₄a₃₂a₄₁- a₁₄a₂₁a₃₂a₄₃ - a₁₃a₂₁a₃₄a₄₂

In ieder geval valt op dat in elke term elke rij en elke kolom precies één keer voorkomt. Dat is eigenlijk ook wel logisch door de manier waarop die determinant is uitgerekend: daarbij kan nooit een element uit dezelfde rij of kolom twee keer in een term gebruikt worden.
Die kolomindices vormen dus precies de 24 mogelijke permutaties van 1, 2, 3, 4.

Kunne we nog iets zeggen over het plus- of minteken?
Laten we de kolompermutaties even apart bekijken:
positief: 1234, 1423, 1342, 2143, 3124, 4132, 2314, 4213, 3412, 2431, 3241, 4321
negatief: 1243, 1324, 1432, 2134, 2413, 3214, 4312, 2341, 4231, 3421, 4123, 3142

Die groene is de oorspronkelijke.
Die roden krijg je door daar één wisseling op toe te passen (dus 2 indices met elkaar van plaats verwisselen).
Die blauwen krijg je door twee wisselingen op de oorspronkelijke toe te passen.
Die paarsen krijg je door drie wisselingen op de oorspronkelijke toe te passen.

Laten we de permutaties met een even aantal wisselingen EVEN noemen en die met een oneven aantal wisselingen ONEVEN, dan hebben alle EVEN permutaties een plusteken en alle ONEVEN een minteken.

Ook wel logisch natuurlijk: elke keer als je bij het berekenen van de determinant een stapje in een kolom omlaag doet, dan wisselt het teken, maar dan wisselen ook twee rijen van wat er overblijft met elkaar.

In de linkerfiguur wordt met de rode a_ij de matrix met de zwarte en blauwe a_ij gebruikt.
In de rechterfiguur is het volgende kolomelement genomen, dus dat heeft een minteken -a_ij , maar in de matrix die gebruikt wordt is nu de vijfde rij vervangen door de vierde. Een wisseling extra dus!

We zijn zover om een "formule" voor de determinant van een n × n matrix op te schrijven. Hou je vast:

Daarin is σ de verzameling van alle permutaties van de getallen 1 tm n, en sgn(σ) is het teken van de permutatie (plus voor een even aantal wisselingen, min voor een oneven aantal wisselingen). Verder is σ(i) het getal op de i^de plaats van de permutatie (bijv van de permutatie 1324 is σ(3) = 2 want op de derde plaats staat een 2).
Ik hoop dat je ziet dat hier niets anders staat dan wat we in het proces daarboven al hadden opgemerkt.

Deze formule noem ik voor het gemak vanaf nu de somformule.

1. De getransponeerde matrix.

De getransponeerde matrix van Matrix M is de matrix die je krijgt door de kolommen en rijen met elkaar te verwisselen (dus eerste rij wordt eerste kolom, tweede rij wordt tweede kolom, enz.).
Je noteert hem als M^T.
Nu geldt:

|M^T| = |M|

Bewijs.
Simpel: in de lijst met alle termen hierboven komen alle permutaties precies één keer voor. We hadden ze net zo goed naar kolomnummer kunnen rangschikken in plaats van naar rijnummer. Dat had precies dezelfde formule opgeleverd, maar dan met i en σ(i) verwisseld. In feite komen de rijen en kolommen in de lijst met termen van de determinant symmetrisch voor.

Dit is best een handige stelling, want als we vanaf nu iets kunnen bewijzen over wat er gebeurt met de determinant van een matrix als we "iets"" met de rijen doen, dan geldt dat meteen voor de kolommen, en andersom.

2. Twee rijen verwisselen.

Als je twee rijen verwisselt, dan verandert sgn(σ) voor elke term, immers die twee rijen komen in elke term precies één keer voor. Dat betekent dat de hele determinant van teken wisselt.
Maar dan geldt dat ook voor het wisselen van twee kolommen! Dat volgt nu direct uit de eigenschap hierboven van de getransponeerde matrix.

Twee rijen verwisselen ⇒ | M | wisselt van teken.

Gevolg: Als een matrix twee gelijke rijen of twee gelijke kolommen heeft, dan is de determinant gelijk aan NUL.
Dat moet wel, want als je nu die twee met elkaar wisselt dan draait het teken van de determinant om, maar de matrix blijft gelijk! Dus het teken draait om, maar de determinant blijft wel dezelfde. Dat kan alleen als de determinant NUL is.

Twee gelijke rijen ⇒ | M | = 0

3. Een rij vermenigvuldigen met een getal k.

In elke term van de somformule komt precies één element van die rij voor, dus elke term van de somformule wordt k keer zo groot. Dan wordt de hele somformule ook k keer zo groot!

Rij vermenigvuldigen met k ⇒ |M| wordt k • |M|

En natuurlijk geldt voor kolommen hetzelfde; volgt weer uit de eerste stelling (van de getransponeerde matrix).

Gevolg: Als je een hele n × n matrix met een getal k vermenigvuldigt, dan wordt er eigenlijk n keer een rij met k vermenigvuldigd, dus wordt de determinant kⁿ keer zo groot.

|k • M| = kⁿ • |M|

4. Twee rijen bij elkaar optellen.

Stel dat we rij p vervangen door (rij p + rij q)
In de term uit de somformule staat die nieuwe rij precies één keer, namelijk op plaats p:

a_1σ(1) • a_2σ(2) • .... • (a_p,_σ(p)+a_q,σ(p)) • ....

Haakjes wegwerken:

= (a_1σ(1) • a_2σ(2) • .... • a_p,_σ(p) • ....) + (a_1σ(1) • a_2σ(2) • .... • a_q,σ(p) • ....)

Dat eerste stuk geeft precies de oorspronkelijke determinant van M.
Het tweede deel geeft de determinant van de matrix waarin rij p vervangen is door rij q
Maar dat is een matrix met twee gelijke rijen (tweemaal rij q) dus de determinant daarvan is nul (stelling 2).

Twee rijen bij elkaar optellen: ⇒ | M | blijft gelijk.

En natuurlijk geldt voor kolommen hetzelfde; volgt weer uit de eerste stelling (van de getransponeerde matrix).

Maar ook als je rij q een aantal (k) keer bij bij p dan staat daar als tweede deel een matrix waarvan de ene rij k keer de andere is. Als je die rij dan met ¹/_k vermenigvuldigt, dan wordt de determinant ¹/_k keer zo groot. Maar de determinant wordt ook nul, want je hebt dan weer een matrix met twee gelijke rijen gekregen,
Dus was de oorspronkelijke determinant ook nul!
De stelling geldt dus ook als je een aantal keer de ene rij bij de andere optelt.

Een rij een aantal keer bij een andere rij optellen: ⇒ | M | blijft gelijk.

Tot zover de stellingen over de determinant.