|
||||||
| Farey - rijen. | ||||||
| John Farey was een
Britse geoloog die in 1816 dacht: "Kom, laat ik eens een
heleboel breuken tussen 0 en 1 gaan opschrijven". Hij koos een getal n en schreef vervolgens alle breuken tussen 0 en 1 met noemer hoogstens gelijk aan n. Op volgorde van klein naar groot, en zo veel mogelijk vereenvoudigd, dat spreekt voor zich. Die rij noemde hij Fn Voor n = 7 kreeg hij bijvoorbeeld: |
||||||
|
|
||||||
| Nou hebben al deze
Farey-rijen een erg geinige eigenschap, en die gaat over twee
opeenvolgende breuken van de rij. Er blijkt namelijk te gelden: |
||||||
|
|
||||||
| Ga er vooral een paar na om deze wonderbaarlijke eigenschap te controleren! | ||||||
|
Het houdt niet op! Er is nog een leuke eigenschap van zo'n Farey-rij, en die geldt voor drie opeenvolgende termen. |
||||||
|
|
||||||
| Ga dat ook vooral eerst na!!! | ||||||
| Alhoewel..... Is dit
wel zo speciaal......? Zou deze tweede geweldige, wonderbaarlijke eigenschap niet gewoon volgen uit de eerste? Laten we proberen aan te tonen dat uit bc - ad = 1 en de - cf = 1 volgt dat c/d = (a + e)/(b + f) Weet je wat? Doe dat maar eens lekker zelf!! Vooruit, een tip: trek de eerste twee vergelijkingen van elkaar af..... Daarmee kun je wel voorspellen wat de eerstvolgende breuk is in een hogere Farey-rij die tussen twee breuken in de huidige Farey-rij zal komen. Zo zal tussen 2/5 en 3/7 in F7 voor het eerst de breuk (2 + 3)/(5 + 7) = 5/12 in F12 komen. Oké, niet zo speciaal dus, maar toch wel handig! Deze laatste eigenschap maakt het wel opeens mogelijk om een recursieformule voor de termen van een Farey-rij op te stellen. Je kunt een volgende term, direct berekenen uit de twee voorafgaanden!!!! Dat is best handig; dan hoef je ze niet eerst allemaal op te schrijven, te vereenvoudigen en op volgorde te zetten. Begin met de eigenschap: |
||||||
 |
||||||
| maar omdat c/d
zo veel mogelijk vereenvoudigd is, moet gelden dat er een geheel getal
k is waarvoor geldt: ck = a + e en tegelijkertijd dk = b + f Daaruit volgt e = ck - a en ook f = dk - b De volgende breuk is dan : e/f = (ck - a)/(dk - b) Het wordt interessant als je het verschil tussen deze term en de vorige bekijkt: |
||||||
|
|
||||||
| Je ziet dat dat
verschil een functie van k is! En hoe groter k, des te kleiner is het verschil. Je vindt de kleinst mogelijke volgende term door k zo groot mogelijk te kiezen. Maar er moet natuurlijk nog wel gelden dat dk - b ≤ n als je in de Fn-rij bezig bent, anders is het geen geldige breuk. Voorbeeld. Stel we hebben 4/7 en 3/5 uit de F7 serie van het begin al gevonden, en we willen de volgende vinden. Dus is a = 4, b = 7, c = 3, d = 5 k • 5 - 7 ≤ 7 en dat geeft maximale k = 2 De volgende breuk is 3/5 + (7 • 3 - 4 • 5)/5(5 • 2 - 7) = 3/5 + 1/15 = 10/15 = 2/3 |
||||||
| Je kunt nog sneller Farey-rijen maken als je let op de regelmaat van de noemers.: | ||||||
|
|
||||||
| In de rij Fn
komen er vergeleken met de vorige rij, alleen breuken bij met noemer
n. En die komen steeds tussen twee breuken van de vorige rij waarvan de noemers samen n zijn!! Bij de rode pijltjes inde figuur zie je welke breuken er in F5 bijkomen. Steeds zijn beide noemers uit F4 samen 5. Zo weet je bijvoorbeeld ook al waar de nieuwe breuken in F7 zullen komen. Precies! Op de plaats van de blauwe pijlen!! (Sterker nog: je weet de teller van die nieuwe breuken ook al: het is steeds de som van de tellers van de vorige rij, dat was immers die leuke eerder gevonden eigenschap....) Deze manier om breuken te rangschikken heeft veel overeenkomst met de zogenaamde Stern-Brocot boom. Als je het interessant vindt, kun je daar in deze les meer over lezen (ook als je het niet interessant vindt trouwens). |
||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||||
