© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Stellingen van Feuerbach.
       
Feuerbach ging nog lekker even door met zijn negenpuntscirkel (ik denk dat het zijn hobby was), en bewees de volgende twee stellingen.
       
Stelling 1:  De negenpuntscirkel raakt aan de ingeschreven cirkel.
   
Hiernaast zie je wat er aan de hand is. De rode negenpuntscirkel lijkt inderdaad de zwarte ingeschreven cirkel in een punt F  (het punt van Feuerbach)  te raken.

Maar hoe bewijs je dat???

Misschien als volgt:  Als twee cirkels elkaar raken dan is de afstand tot hun middelpunten gelijk aan het verschil van de stralen, kijk maar:
     

       
Als R de straal van de grote cirkel is, dan is R = r + r + x,  dus  r + x = R - r  en dat is precies de afstand tussen de middelpunten.
Nou weten we al dat de straal van de negenpuntscirkel de helft is van die van de omgeschreven cirkel. Als we de straal van de omgeschreven cirkel R noemen en die van de ingeschreven cirkel r, dan moet dus gelden:  IX = 1/2R - r, waarbij I het middelpunt van de ingeschreven cirkel is (dat is het snijpunt van de bissectrices), en X het middelpunt van de negenpuntscirkel.  Wacht, laten we dat even in een kadertje zetten voordat we straks gaan vergeten wat we wilden bewijzen:
       
aan te tonen:    IX = 1/2R - r
       
Handig Hulpje:  Barycentrische coördinaten.

Omdat we afstanden in een driehoek moeten berekenen, is het vast handig om de punten waar het om gaat uit te drukken in zogenaamde barycentrische coördinaten.  Dat werkt als volgt:
       

       
Kies willekeurig ergens een oorsprong O. Dan kun je met vectoren in een punt X van de driehoek komen door de vector OA te nemen en daar een aantal keer AB en een aantal keer AC bij op te tellen.
Rechts van de driehoek zie je hoe je op deze manier een punt X kunt noteren als X = (α, β, γ),
waarbij geldt  α + β + γ = 1.
Zo is bijvoorbeeld  A = (1, 0, 0)  en  B = (0,1,0)  en  C = (0, 0, 1)
Het zwaartepunt is bijvoorbeeld het punt Z = (1/3, 1/3, 1/3).
Het voordeel van deze notatie is dat we niet steeds vectoren hoeven op te schrijven maar gewoon met kentallen kunnen werken.
       
hulpstellinkje.
Stel dat een punt X de barycentrische coördinaten (α, β, γ) heeft, en dat Y een ander punt is.
Dan geldt voor de afstand XY:    XY2 =  αAY2 + βBY2 + γCY2 - (βγα2 + γαβ2 + αβγ2)

bewijs:
  XY2      (XY is de lengte van vector XY)
= |Y - X|2     hier staan vectoren
= |Y - αA - βB - γC|2   hier staan vectoren.
=
       
       
       
Stelling 2:  De negenpuntscirkel raakt aan de aangeschreven cirkels.
       
(rest later....)
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)