box-dimensie

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Box-dimensie.

Deze les gaat over een beetje rare manier om de dimensie van een object te berekenen. Daarom eerst maar een voorbeeld, dan kijken we later wel waarom dit een goede methode is.

Neem als voorwerp: Nederland.

We gaan Nederland nu bedekken met een rooster van vierkanten. Zie de figuur linksonder.
Rechtsonder zijn alleen de vierkanten die nodig zijn om Nederland helemaal te bedekken doorzichtig gelaten, de rest is zwart gemaakt.

We tellen daar rechts 80 van die doorzichtige benodigde vierkanten (met afmetingen ongeveer 30 bij 30 km, maar dat doet er niet veel toe)

Volgende stap.
Maak het rooster nu kleiner, bijvoorbeeld dubbel zo klein:

We tellen nu 276 benodigde vierkanten, elk met zijden de helft van de vorigen.
Het aantal vierkanten is dus ²⁷⁶/₈₀ = 3,45 keer zo groot geworden, en de afmetingen van elk vierkant zijn 0,5 keer zo klein geworden.
Met de afspraken van de vorige les geeft dat voor de dimensie van de figuur: 3,45 = 2^D
Dan is D ≈ 1,79.

Volgende stap.
Maak het rooster weer kleiner, bijvoorbeeld weer dubbel zo klein:

We tellen nu 959 benodigde vierkantjes, elk met zijden de helft van de vorigen.
Het aantal vierkanten is dus ⁹⁵⁹/₂₇₆ = 3,47 keer zo groot geworden, en de afmetingen van elk vierkant zijn 0,5 keer zo klein geworden.
Met de afspraken van de vorige les geeft dat voor de dimensie van de figuur: 3,47 = 2^D
Dan is D ≈ 1,80.

En zo zouden we nog een poos door kunnen gaan, in de hoop dat al die dimensies D een beetje naar een zelfde waarde toegaan.
Voorlopig kunnen we na dit kleine onderzoekje stellen:

Je zult intussen wel zien dat dit soort berekeningen voor "ideale" fractals en figuren hetzelfde oplevert als de dimensies van de vorige les. Het voordeel van deze nieuwe manier is dat we hem ook kunnen gebruiken om van niet-ideale figuren een schatting van de dimensie te maken.


OPGAVEN

1.	Maak met de twee eerste figuren uit deze les een schatting voor de dimensie van de landgrens van Nederland.