Een onbekende in het verhoudingsschema.
   
Soms loopt zo'n verhoudingstabel bij gelijkvormigheid helemaal vast omdat we schijnbaar niet genoeg gegevens hebben.

Neem het geval hiernaast.
   
In de driehoek hiernaast, willen we  we graag CE en DE berekenen.

Je herkent hier intussen waarschijnlijk wel de basisfiguur uit de vorige les.

 

Dat betekent dat driehoeken ABC en DEC gelijkvormig zijn. Een verhoudingsschema zie er zó uit:
 
AB
14		 BC
 		 AC
8
DE
 		 EC
 		 DC
5
 

Kijk, DE dat wil nog wel:   DE = 14 • 5/8 =  8,75
Maar daarna loopt het vast! De andere lijnstukken BC en EC uit deze tabel zijn beiden onbekend.

De oplossing is te vinden door gewoon te stellen dat CE gelijk is aan x.

 

Noem een onbekende zijde zolang x. 
Vooral eentje die op meer plekken voorkomt

 

Dan is BC namelijk gelijk aan x + 4 en dan ziet de verhoudingstabel er zó uit:

 
AB
14		 BC
x + 4		 AC
8
DE
8,75		 EC
x		 DC
5
 
 
Kruislings vermenigvuldigen.

Als je een getal uit een verhoudingstabel wilt berekenen, zoals in de tabel hiernaast, dan gaat dat zo:   ?  = (6 · 15) /4

Maar dat kun je natuurlijk ook zó herschrijven (door alles met 4 te vermenigvuldigen:

4 · ?? = 6 · 15
 
4    6   
15    ??   
En dat geldt dus altijd!!
In de verhoudingstabel geldt altijd: 

 
a ·  d  = c ·  b
   

Terug naar het voorbeeld hierboven:  dan kun je dus nu kruislings vermenigvuldigen: 
5 • (x + 4) = 8 • x

Dan is het verder eenvoudig:  5x + 20 = 8x  dus 3x = 20 en  x = 62/3
Conclusie:  EC = 62/3  en  BC = 102/3.  
   
Nog een voorbeeldje dan maar?
   
In de driehoek hiernaast is punt D is zo gekozen dat  AD = 2 en BD = 6
Het blijkt dat de hoeken ADC en ACB gelijk zijn.
Bereken de lengte van CD.

Oplossing:
ACB ~ ADC want er zijn twee hoeken gelijk, dus alle drie.
Noem AC = x  (die zit in beide driehoeken)
Dat geeft:
 
AC
x		 CB
6		 AB
8
AD
2		 DC
 		 AC
x
   
Uit de tabel volgt  x2 = 16  dus  x = 4
Dan is CD = 6 • 4/8 = 3
   
 
 
  OPGAVEN
   
       
1. Bereken x en y in de figuur hiernaast.

     

.
2. Hiernaast staat een rechthoek met daarin twee lijnstukken getekend.
Bereken de vraagtekens in deze figuur.
Geef je antwoorden in twee decimalen nauwkeurig.

     

.
3. Bereken de lengte van het lijnstuk met het vraagteken in het vierkant hiernaast op twee decimalen nauwkeurig.

   
     

.
4. Bereken in de figuur hiernaast de lengtes van alle niet-aangegeven lijnstukken, als gegeven is dat DE evenwijdig is aan AC.

     

.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)