© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Gemengde opgaven Cirkels  
       
1. Examenopgave Havo, Wiskunde B, 2018-II

De cirkel c met middelpunt M is gegeven door de vergelijking  x2 + y2 - 10x + 16y = 56
De cirkel heeft twee snijpunten met de x-as. Dit zijn de punten C en D. In onderstaande figuur  zijn de stralen MC en MD getekend.
       
 

       
  Bereken ∠CMD . Geef je eindantwoord in graden en rond af op één decimaal.
       
2. Examenopgave HAVO Wiskunde B,. 2023-I

De cirkel c met middelpunt M is gegeven door  (x + 6)2 + (y - 1)2 = 49.
Ook is gegeven de lijn l met vergelijking y = 2x.
De cirkel en de lijn snijden elkaar in de punten A en B. Punt A ligt onder de x-as, punt B ligt boven de x-as.
Zie de volgende figuur.
       
 

       
  a. Bereken algebraïsch de x-coördinaat van B. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
       
  De lijn m is de horizontale raaklijn aan de onderkant van c.
Het punt C is het snijpunt van m en l.
Het punt N ligt op m op een afstand 8 rechts van C.
De cirkel d heeft N als middelpunt en straal 3.
Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  b. Bereken exact de afstand tussen de twee cirkels.
       
3. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2017-I

De cirkel c en de lijn l worden gegeven door c : x2 + y2 = 9 en l : y = -4/3x + 5 . Zie de figuur.
       
 

       
  a. Toon aan dat l raakt aan c.
       
  Cirkel c snijdt de negatieve y-as in het punt A. Lijn l snijdt de x-as in het punt B. De lijn k is de lijn door A en B. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  Lijnen k en l lijken elkaar loodrecht te snijden.
       
  b. Onderzoek of dit het geval is.
       
4. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2017-II

De cirkel c met middelpunt M(0, 5) is gegeven door x2 + ( y - 5)2 = 25 .
De punten C(-4, 8) en D(4, 8) liggen op de cirkel. De lijn k is de raaklijn aan c in punt C en de lijn l is de raaklijn aan c in punt D. Punt A is het snijpunt van k met de x-as en punt B is het snijpunt van l met de x-as.
Zie de figuur.
       
 

       
  De coördinaten van punt B zijn (10, 0) .
       
  a. Bewijs dit.  
       
  Tussen A en B wordt denkbeeldig een touwtje gespannen dat over de cirkel heen gaat. Het touwtje is zo gespannen dat het tussen C en D precies over de cirkel ligt.
Het touwtje is recht tussen A en C en tussen D en B. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  b. Bereken in één decimaal nauwkeurig de lengte van het touwtje.
       
5. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2019-I

Cirkel c met middelpunt M(-1, 3) raakt lijn l met vergelijking   y = 1/2x - 11/2  in punt A.
Lijn k staat loodrecht op l en raakt c in punt B. Punt C is het snijpunt van k en l.
Lijnstukken AC en BC en cirkelboog AB sluiten het vlak V in. Zie de figuur, waarin vlak V blauw is weergegeven.
       
 

       
  Bereken algebraïsch de omtrek van V. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
       
6. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2019-II

De functie f wordt gegeven door   f (x) = 1 + 4√x .
De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f  in het punt A(4, 9) .
Verder is gegeven de cirkel c met vergelijking   (x + 2)2 + ( y + 1)2  = 8.
Zie de figuur.
       
 

       
  Bewijs dat lijn l en cirkel c elkaar raken.
       
7. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2021-I

De cirkel c1 wordt gegeven door:

x2 - 4x + y2 - 6y = -8

De lijn k wordt gegeven door: y = 1/2x + 41/2
Lijn k raakt cirkel c1 .
       
  a. Bewijs dit.  
       
  Het punt M is het middelpunt van c1 . De lijn l gaat door M en staat loodrecht op k. Het punt S is het snijpunt van l met de y-as. De cirkel c2 is de cirkel door M met middelpunt S. Zie de figuur.
       
 

       
  b. Stel op exacte wijze een vergelijking op van c2.
       
8. Examenvraagstuk HAVO wiskunde B 2022-I

De cirkel c is gegeven door de vergelijking  x2 + y2 = 6x + 6y - 13
De lijn l met vergelijking  y = 2x + 2  raakt de cirkel in het punt A. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  a. Bereken exact de coördinaten van A.
       
  l snijdt de x-as in het punt S en de y-as in het punt T. Cirkel d is de cirkel met middellijn ST. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  b. Bewijs dat d door O gaat.
       
9. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2022-II

De functie f wordt gegeven door f (x) = √(3x + 4).
De grafiek van f snijdt de y-as in het punt A(0, 2). De lijn k is de raaklijn aan de grafiek van f in A. De lijn l snijdt lijn k loodrecht in A. Het punt M is het snijpunt van l met de x-as.
De cirkel c heeft punt M als middelpunt en raakt de grafiek van f in punt A. Lijn k is dus ook de raaklijn in A aan c.
De punten P en Q zijn de snijpunten van cirkel c met de x-as. Zie de volgende figuur.
       
 

       
  Bereken exact de x-coördinaten van P en Q.
       
10.

Examenopgave HAVO Wiskunde B, 2022-III

De functie f  is gegeven door:   f(x) = -6/(2x - 3) + 2
Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt A(3, 0) en lijn m is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt B(0, 4). Zie de volgende figuur.

       
 

       
  De twee raaklijnen hebben allebei richtingscoëfficiënt 4/3.
       
  a. Toon dit met behulp van differentiëren aan.
       
  Cirkel c1 raakt l in A. Bovendien raakt c1 aan m.
Punt M1 is het middelpunt van c1 . Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  De coördinaten van M1 zijn  (27/25, 36/25)
       
  b. Bewijs dit.  
       
  M1 ligt op de lijn k met vergelijking  y = 4/3x.
Cirkel c2 is gegeven door de vergelijking:    x2 + y2 - 3x - 4y = 0
       
  c. Bewijs dat het middelpunt van c2 ook op k ligt.
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)