stelling van Helly

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De stelling van Helly.

"Als van een verzameling van convexe gebieden elke drie gebieden een gemeenschappelijk punt hebben, dan is er een punt dat zich in alle gebieden bevindt".

Een gebied is "convex" als de verbindingslijn van twee willekeurige punten in zijn geheel weer binnen het gebied ligt. In huis- tuin- en keukentaal zouden we zeggen dat het gebied geen "gaten" en geen "deuken" heeft.

Eerst bewijzen we de stelling voor een verzameling van 4 convexe gebieden G₁, G₂, G₃ en G₄.
Stel dat punt P_i ligt in de drie gebieden zonder G_i. (Dus bijv. A₂ ligt in G₁, G₃ en G₄).
Vier punten kunnen in een vlak maar op twee manieren liggen: eentje ligt in de driehoek gevormd door de andere drie, of de vier punten vormen een convexe vierhoek.

Situatie 1:
P₁, P₂ en P₃ liggen volgens afspraak in gebied 4. Maar omdat gebied 4 convex is, moet de hele driehoek wel in gebied 4 liggen. Dus punt P₄ ook. P₄ ligt dus in alle vier de gebieden.

Situatie 2:
Noem S het snijpunt van P₁P₃ en P₂P₄.
G₁ bevat driehoek P₂P₃P₄ dus ook punt S
G₂ bevat driehoek P₁P₃P₄ dus ook punt S
G₃ bevat driehoek P₁P₂P₄ dus ook punt S
G₄ bevat driehoek P₁P₂P₃ dus ook punt S
Conclusie: S ligt in alle vier de gebieden.

Daarmee is het geval voor 4 gebieden bewezen.

De inductiestap.

Inductie-aanname: Stel dat de stelling geldt voor n gebieden (n ≥ 4), G₁ tm G_n
Voeg nu een gebied G_{n + 1}toe.
Beschouw dan de vier gebieden G_iG_jG_nG_n+1
Stel dat drie van deze 4 gebieden steeds een punt gemeenschappelijk hebben.
Dan zegt de inductie-aanname dat er een punt is dat in alle vier ligt (de stelling geldt volgens de aanname voor n ≥ 4 gebieden, dus zeker voor 4 gebieden).
Noem nu D de doorsnede van G_n en G_n+1. Ons gezocht punt ligt zeker in D. Dus G_iG_jD hebben een punt gemeenschappelijk. Verder is D ook convex (bewijs dat zelf maar).
Maar i en j waren willekeurig. Dus elke verzameling G_iG_jD heeft een punt gemeenschappelijk.

We hebben dus nu een verzameling van n convexe gebieden G₁G₂...G_n-1D waarvan elke drie gebieden een punt gemeenschappelijk hebben.
De inductie-aanname zegt dan dat er een punt is dat in al deze gebieden ligt.
Maar omdat D de doorsnede van G_n en G_n+1 is, ligt dat punt ook in G_n en G_n+1.
Dus ligt dat punt in alle G₁G₂,...,G_n+1.

Daarmee is de stelling bewezen.

q.e.d.

Voorbeeldtoepassing.

Ik heb een kromme getekend, waarvoor geldt dat twee willekeurige punten ervan altijd minder dan 1 cm van elkaar af liggen ("hemelsbreed"). Bewijs dat er dan altijd een cirkel met straal ¹/₃√3 cm te vinden is die de kromme in zijn geheel bedekt.

Kies drie willekeurige punten P, Q en R van mijn kromme.
Stel dat PQ de langste zijde van driehoek PQR is.
Kies nu punt S aan dezelfde kant van PQ als punt R, en doe dat zó dat driehoek PQS gelijkzijdig is.
Dan ligt R in de omgeschreven cirkel van driehoek PQS. En de straal van die cirkel is hoogstens ¹/₃√3, want de zijden zijn hoogstens 1.

Dat betekent dat de drie cirkels met straal ¹/₃√3 en middelpunten P, Q en R een punt gemeenschappelijk hebben.
Maar dat geldt voor elke drie punten P, Q en R.

Teken nu om elk punt van onze kromme een cirkel met straal ¹/₃√3.
Dan heeft elke verzameling van drie van die cirkels een gemeenschappelijk punt.
De stelling van Helly zegt dan dat er een punt is dat binnen al die cirkels ligt.

Dit punt is het middelpunt van de cirkel die we zoeken....