© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Logaritmen en Inversen.
 
De inverse functie van een functie noemden we eerder ook wel de "OFHEFFER" ervan. Het is degene die ervoor zorgt dat alle effect van de functie teniet wordt gedaan. Pas je op een getal x een functie toe, en daarna op het resultaat zijn inverse, dan heb je uiteindelijk x zelf weer over; er is netto niets gebeurd.
Dat "ophef-effect" kun je handig gebruiken in vergelijkingen.
Stel dat in een vergelijking een wortel voorkomt, bijvoorbeeld  √(x) = 5
Wat betekent dat?
Er is een getal x geweest, en daar is de bewerking "wortel nemen" op toegepast, en het resultaat is het nieuwe getal 5.

Maar de machine "kwadrateren" is de inverse van "wortel nemen" dus daarmee kunnen we effect weer teniet doen. Als je de machine "kwadrateren" dus toepast op het getal 5, dan zal de oorspronkelijke x er weer uitkomen:

Gelukkig weten we wat 5 in het kwadraat is:  25.  De conclusie is dat x = 25.
Waar komt het eigenlijk op neer?
• We begonnen met de vergelijking √x = 5.
• Om die wortel weg te krijgen pasten we op de linkerkant de inverse bewerking "kwadrateren" toe.
• Maar dan moeten we dat aan de rechterkant ook doen.
• Dan  komt er links x uit, en rechts 52 = 25, dus x = 25.

Hier is een rijtje bekenden met hun inverse:

functie inverse
 
 "gedeeld door"   "keer"
"plus" "min"
"wortel" "kwadraat"
"derdemachts-wortel" "tot de derde"
"twee-tot-de-macht" ???

De laatste gaan we onderzoeken.
We gaan de methode hierboven nu gebruiken om machten weg te werken.
Neem bijvoorbeeld de volgende vergelijking:    2x  = 10
Dat betekent dat er een getal x is geweest en daar is de bewerking  "2 tot de macht" op losgelaten, en toen kwam er 10 uit.  Dus:

x zal tussen 3 en 4 liggen, want 23 = 8 en 24 = 16.
Als we nou ook van de bewerking 2x de inverse weten, dan kunnen we x vinden:

De tweede machine met het vraagteken is uiteraard ook door wiskundigen in elkaar gezet. Hij zou  "2-ONTMACHTER" of zo kunnen heten omdat het twee-tot-de-macht opheft.
Hij heet echter 2logx.  Log is de afkorting van "logaritme"
Aan het tweede machientje hierboven kun je al zien dat  2log10 = x
De oplossing van de vergelijking  2x = 10  is dus  x = 2log10.
Eigenlijk is weer op beide kanten van de vergelijking het machientje 2logx toegepast. Aan de linkerkant had dat tot effect dat er weer x uitkwam, aan de rechterkant komt 2log10 te staan.
"Maar wat is nu de uitkomst?"
"Nou, 2log10"

"Maar wat komt er dan UIT??"
"Dat zeg ik, gewoon 2log10!!"

"Maar wat ís dat dan???"
"Nou, 2log10 is 2log10!!!"

"Ja maar, welk getál????"
"2log10 ís een getal!!!!"
Precies dezelfde discussie als bij het invoeren van""Wortel". 
"Hûh? Wortel? Wat is dat, kun je dat eten?"
Het kost altijd even tijd om eraan te wennen dat √3 ook maar gewoon een getal is. 
Dat het een antwoord is, en geen opgave.
Met logaritmen is dat ook zo.  2log10 is een mooi antwoord op een opgave (we zagen al dat het ergens tussen 3 en 4 in zal liggen, want 23 = 8 en 24 = 16).
Sommige wortels kun je exact uitrekenen, zoals √16 = 4  (omdat 42 = 16 natuurlijk)
Ook dat is met sommige logaritmen precies zo.  2log32 bijvoorbeeld is exact gelijk aan 5. (omdat 25 = 32 natuurlijk).

Als de twee een ander getal is, bijvoorbeeld  3 of 4 of ... dan heet de inverse  3logx of 4logx of ......
In het algemeen:

glog x  is de inverse van gx
gx = a   ⇒  x = glog a
Bij deze laatste vergelijking is dus op beide kanten het machientje " glog nemen"   toegepast.

Er is één grondtal dat zo vaak voorkomt dat men het weglaat, en dat is grondtal 10.
Dat betekent dus:
   

log(x) = 10log(x)
Het werkt ook andersom!
We zagen al dat glogx de inverse is van gx  zodat log gebruikt kan worden om tot-de-macht weg te werken.
Maar omgekeerd werkt het ook.  gx  is ook de inverse van glogx.
Ze zijn eigenlijk elkaars inverse.
Dat betekent dat gx  gebruikt kan worden om glogx weg te werken.
Dat werkt als volgt.  Neem de vergelijking    3log x = 4
Aan de linkerkant staat een getal x en daar is 3log op toegepast.  Om die 3log  daar weer weg te krijgen passen we de inverse ervan toe, en dat is 3x . Maar dan moeten we aan de rechterkant óók drie-tot-de-macht doen:

Links heffen de 3-macht en de 3-log elkaar op, dus komt er x uit, rechts staat er 81.  Conclusie:  x = 81.
gx is de inverse van glogx  
Uiteraard kun je deze vergelijking ook oplossen met de regel hierboven als je die andersom leest.
Kijk maar:

gx = a   ⇒   x = glog a
 ???     ⇐   4 = 3log x
De pijl de andere kant op volgen levert 34 = x  ofwel  x = 81
 
En bestaat die glogx dan altijd?
   
Nou.......ehh.......om eerlijk te zijn......... nee.

In ieder geval moet g altijd groter dan 0 zijn, dat hebben we al eerder bij exponentiële functies vastgesteld.
Maar dat heeft ook gevolgen voor x.

Als je je bedenkt dat  glogx = a  hetzelfde is als  ga = x dan zie je dat ook die x groter dan 0 moet zijn!
Immers als g groter dan nul is, dan is ga  ook groter dan nul  (zelfs als a een negatief getal is blijft ga positief,
immers  g -a = 1/ga  en dat is dus wél positief).
Conclusie:

glogx  bestaat alleen als g > 0  én x > 0 

   
Dat heette trouwens vroeger (en nu nog steeds) het Domein: dat waren de toegestane x-waarden. 
Later zullen we daarover meer zien als we de grafieken van glogx gaan bestuderen.

Ik heb er nu al zin in....
   
 
 
OPGAVEN
       
1. Los algebraïsch op, en rond je antwoord NIET af:
         
  a. 4x = 25 d. 53x = 30
         
  b. 3x = 243 e. 3x - 3 = 40
         
  c. 8x = 500 f. 8x + 4  = 500
         
2. Welke getallen uit de rij  7log1,  7log2,  7log3, ...,  7log1000  zijn gehele getallen?
         
3. Probeer een geheel getal te vinden voor:
         
  a. 4log47 = .... c. 6log36 = ...
         
  b. 3log35 = --- d. 0,1log(0,001) = 0,1log(0,13) = ...
       
  Probeer op deze manier een geheel getal te vinden voor:
       
  e. 3log81 = ... g. 0,5log 0,25 = ...
       
  f. 5log625 = ... h. 10log 100000 = ...
       
4. Los algebraïsch op:
       
  a. 3log x = 5 d. 7log(x - 2) = 12
         
  b. 0,5log x = 2 e. 2 × 5logx = 20
         
  c. 3logx + 5 = 12 f. 6logx + 6logx =  10
         
5. Los algebraïsch op:
         
  a. 6log(3x - 1) = 3 e. 3 × 2 x + 3 = 20
         
  b. 5 - 4log(x - 2) = 8 f. (2logx)3 = 64
         
  c. 34x = 100 g. 2log(x3) = 6
         
  d. 3 × 0,4log(x) + 4 = 22 h. 3log(Öx - 5) = 4
         
         
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)