inverse 3 bij 3 matrix

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De inverse van een 3 × 3 matrix.

Voor de inverse van een 2 × 2 matrix hebben we de vorige les het volgende recept gevonden:

Deze les gaan we een recept voor de inverse van een een 3 × 3 matrix bekijken. 't Is niet heel erg eenvoudig en misschien is het gewonen schoonvegen wel handiger (zeker bij nog grotere matrices).

Het berekenen van de inverse gaat in vijf stappen.

STAP 1. Bereken de determinant.

We zagen in een eerdere les al hoe dat moet. Als de determinant nul is, dan zijn we al klaar met ons recept, want dan bestaat de inverse matrix niet.

Laten we maar met een voorbeeldje meelopen met onze stappen, dat is misschien wel zo duidelijk.
Neem de matrix:

det(A) = 1 • (3 • 2 - 3 • 5) - 2 • (2 • 2 - 3 • 3) + 0 • (2 • 5 - 3 • 3) = -9 + 10 + 0 = 1
Nou da's mooi: de inverse bestaat.

STAP 2: Transponeer de oorspronkelijke matrix.

"Transponeren" betekent "rijen en kolommen met elkaar verwisselen". Dat betekent dat de eerste rij nu de eerste kolom wordt, de tweede rij wordt de tweede kolom en de derde rij wordt de derde kolom. De getransponeerde matrix wordt meestal aangegeven met een T in de lucht; A^T.Zo werkt dat dus:

STAP 3. Vervang de elementen door hun minoren-determinanten

Bij elk element van de 3 × 3 matrix hoort een 2 × 2 matrix, die bestaat uit de elementen van de andere rijen en kolommen.
Die matrices heten de minoren.
Hier zie je er een paar, met hun determinant berekend:

Als je alle elementen van de getransponeerde matrix vervangt door de determinanten van hun minoren dan geeft dat:

STAP 4: Voeg om-en-om een plusteken en een minteken toe.

Dat doen we volgens het "schaakbordpatroon" dat we ook al tegenkwamen bij het berekenen van de determinant. Dus links bovenaan beginnen met een PLUS en dan om-en-om PLUS en MIN.
De matrix die we dan krijgen heet de geadjugeerde matrix van A, meestal aangegeven als A^adj. (het heet ook wel de matrix van de cofactoren).

STAP 5: vermenigvuldig alle elementen met ¹/_D

In dit geval eenvoudig, want de determinant was 1, dus alles moet je met 1_{/1
vermenigvuldigen.}
Het resultaat geeft dan eindelijk de inverse van matrix A:

Voor de ongelovigen onder ons:

Nog grotere matrices.

Nou, de vijf stappen blijven gelijk aan die hierboven. Alleen zijn die minoren nu steeds grotere matrices. Bij een 4 × 4 matrix A zijn de minoren dus 3 × 3 matrices. Dat wordt snel veel rekenwerk, en vaak is gewoon schoonvegen sneller.
Nou vooruit, één voorbeeldje dan.....

det(A) = 1 • {1(2•5 - 3•1) - 4(0•5 - 2•1) + 2(0•3 - 2•2)} - 3 • {2•(2•5-1•3) - 4•(0•5-2•1) + 2(0•3-2•2)}
+ -2 • {2•(0•5-2•1) - 1•(0•5-2•1) + 2•(0•2-2•0)} - 1 • {2•(0•3-2•2) - 1•(0•3-2•2) + 4•(0•2 - 2•0)}
= 1 • {7 + 8 - 8} - 3• {14 + 8 + 0) - 2 • {-4 + 2 + 0} - 1 • {-8 + 4 + 4}
= 1 • 7 - 3 • 22 - 2 • -2 - 1 • 0
= -27

alle elementen vervangen door hun minoren:

mintekens toevoegen:

Determinant toevoegen: