© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Kwadratische vergelijkingen (2)
       
Als er meerdere x-en in een vergelijking staan, en je kunt die niet zoals in de vorige les makkelijk samennemen, dan zul je wat nieuws moeten verzinnen.
Een mogelijkheid is af en toe de vergelijking te ontbinden in factoren.

Ontbinden in factoren betekent:  "Schrijven als vermenigvuldiging" en dat gaan we doen door haakjes IN een vergelijking te zetten.
"WAAAAT?"  hoor ik je al denken; "Wat is dit voor flauwekul? Eerst moesten we met veel pijn en moeite leren om haakjes steeds weg te werken, en nou zeker weer haakjes terugzetten??? Waar is dat nou weer goed voor? Werkverschaffing?

Het zit hem allemaal in de volgende eenvoudige vergelijking:
       
A • B = 0
       
In plaats van die A of die B mag er van alles staan. Hier staat dus eigenlijk `twee dingen met elkaar vermenigvuldigd geven als resultaat NUL.
De oplossing is eenvoudig: als twee getallen met elkaar vermenigvuldigd NUL opleveren, dan moet minstens één van beide 0 zijn. Dus in dit geval is de oplossing  A = 0  of  B = 0.  (met "of" bedoelen we in dit geval dus  óf de één,  óf de ander,  óf allebei.  Conclusie:
       

A • B = 0  ⇒  A = 0  of  B = 0
       
Hiernaast zie je hoe één moeilijke vergelijking op deze manier gesplitst kan worden in twee (misschien) makkelijkere vergelijkingen.

Voorbeeld:

x • (x2 - 8) = 0  kun je splitsen in 
x = 0  of  x2 - 8 = 0 
en x2 - 8 = 0   geeft  x2 = 8  dus  x = 2 of x = -2
In totaal geeft dat 3 oplossingen: 
x = 0  of x = 2  of  x = -2

Als je de haakjes in de oorspronkelijke opgave zou wegwerken krijg je  x3 - 8x = 0  en die is veel en veel moeilijker op te lossen.

       
Conclusie:  Soms kun je vergelijkingen mét haakjes wel oplossen, en dezelfde zónder haakjes niet of veel moeilijker!

Elke keer als er mét haakjes alleen maar blokjes met elkaar vermenigvuldigd staan kunnen we ons probleem splitsen in eenvoudigere problemen.
       

Dat werkt alleen als er staat  "= 0"
       

Wat je dus moet doen om haakjes in een vergelijking te krijgen, is je afvragen: "Kan ik ook 'dubbelen' vinden:  dingen die in álle blokjes staan?" 

Als dat lukt (zoals met de x hierboven) dan kun je die dubbelen uit alle blokjes halen en vóór de haakjes zetten.
Wat er overblijft staat dan nog binnen de haakjes.

Dat dubbelen zoeken kan met letters, maar ook met getallen.

Hier zijn een paar voorbeelden.
       

       
Voorbeeld 1.    Los op:   x2 - 5x = 0

Oplossing:
Er zit een x dubbel in beide termen, dus die kan voor de haakjes gezet worden.
x(x - 5) = 0
x = 0  ∨ x - 5 = 0
x = 0  ∨  x = 5
       
Voorbeeld 2.  Los op:   x2 + 11x = 5x - 2x2

Oplossing:
3x2 + 6x = 0
Nu zit er zelfs 3x dubbel in beide termen, dus die kan voor de haakjes gezet worden.
3x(x + 2) = 0
3x = 0   ∨  x + 2 = 0
x = 0  ∨  x = -2
       
Voorbeeld 3.  Los op:    2x(x - 5) = 4x2 + x

Oplossing:
Haakjes weg:   2x2 - 10x = 4x2 + x
Herleiden op nul (alles naar links):   2x2 - 10x -  4x2 - x = 0  ⇒   -2x2 - 11x = 0
-x(2x + 11) = 0
-x = 0  ∨   2x + 11 = 0
x = 0  ∨   x = -51/2  
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Los exact op:
       
  a. 6x2 - 24x = 0
       
  b. 10 + 12x2 = 9x + 10
       
  c. 6x2 - 5x = 16x - 5x2
       
  d. 6x(x - 1) = 14x2
       
  e. 3x2 + x(x - 7) = 2x
       
  f. (x - 2)2 + 5 = 8x + 9  
       
2. Los exact op:
       
  a. 5x3 - 30x = 0
       
  b. x4 - 6x2 = 0
       
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)