|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||
| Projecties van R3 naar R2 |
 |
|||
| In deze les gaan we
de ruimte projecteren op een plat vlak. Iets wat natuurlijk vele
miljarden keren dagelijks gebeurt als iemand op een scherm kijkt naar
een 3D-wereld. (en wie doet dat tegenwoordig niet minstens 8 uur
per dag????) Laten we beginnen met een eenvoudig voorbeeldje. Neem het (ruimtelijke) viervlak OABC uit de volgende figuur: |
||||
|
|
||||
| De ruimtelijk coördinaten zijn A(2, 0, 0) en B(0, 4, 0) en C(0, 0, 5) | ||||
Maar als we die ruimtelijke figuur tweedimensionaal bekijken, alsof we er "recht tegenaan" kijken zonder diepte te zien, alsof er een raam voor de figuur is gezet waarna de hoekpunten op dat raam zijn getekend, dan zien we dit in het vlak van ons papier |
||||
|
|
||||
| We zien nu "gewoon"
een 2 dimensionale driehoek. Let op dat de assen in deze figuur weer de
"gewone" x- en y-as van ons 2D papier zijn, waarbij we de
oorsprong op dezelfde plaats als in de ruimtelijke figuur hebben
gekozen. De coördinaten zijn nu A' (-2, -1) en B'(4, 0) en C' (0, 5) Als je dus een matrix zoekt die de ruimtelijk figuur uit het xyz-assenstelsel bovenaan afbeeldt op het tweedimensionale xy- assenstelsel (ons papier/beeldscherm) dan moet gelden: |
||||
|
|
||||
| Omdat matrix M
een 3 ´ 1
vector moet omzetten in een 2 ´
1 vector moet dat wel een 2 ´ 3
matrix zijn (Ga dat vooral zelf na!!). Maar we weten de beelden van de eenheidsvectoren al (want we weten de beelden van A, B en C), dus weten we M ook:: |
||||
|
|
||||
| Deze matrix projecteert het ruimtelijk getekende vlak ABC op het vlak van ons papier/scherm. | ||||
|
|
||||
| OPGAVEN | ||||
| 1. | Geef de matrix die onderstaande balk afbeeldt op het vlak van tekening. | |||
|
|
||||
| 2. | Geef de matrix die onderstaande balk ABCD.EFGH projecteert op het vlak OBF | |||
|
|
||||
| 3. | Welke lineaire
afbeelding projecteert de hele ruimte op het vlak y = z? Kies zelf een geschikte kijkrichting. |
|||
 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||
